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拓撲圖問題

圖文 更新时间:2025-01-11 15:08:18

在愛因斯坦的廣義相對論中,空間的結構可以改變,但拓撲保持不變。拓撲有這麼一種性質,在不破壞任何東西的前提下,無論你如何拉伸或扭曲一個物體,它都保持不變。

——愛德華•威藤

在前幾天的諾貝爾物理學獎和化學獎中都提到了“拓撲”。許多人知道他是數學的一個分支,但拓撲究竟是什麼以及有什麼用處許多人表示不明覺厲。不過可以肯定的是,作為最基礎的自然科學,數學的重要性尤為突出。正如伽利略所說的:“如果一個人不懂得宇宙的語言,即數學的語言,他就不能夠閱讀宇宙這本偉大的書。”

【連續變形】

拓撲學家就是一群無法區分甜甜圈和咖啡杯的數學家。

拓撲學家的職責是研究各種形狀的屬性,特别是在經過扭曲、拉伸或變形後的形狀。這一系列的可能變換方式可以用一個數學概念來描述,即連續變。大意是指“拉伸,但不撕裂或合并”。這是什麼意思?舉個例子,一個圓可以被拉伸變成橢圓或者是其他更複雜的形狀。但是撕裂和合并就會造成不連續,這在拓撲中是不變允許的。

△ 在拓撲學上看,甜甜圈和咖啡杯是一樣的。

另一方面,球面無論怎麼努力,隻能變成無手柄的茶杯。因為讓表面發生連續變化的時候,無法實現“開洞”的操作。也就是說,從拓撲學的角度看,甜甜圈與咖啡杯的表面是同一類别的,球面屬于其他的種類。如果兩個物體能夠被拉伸變化成同一個形狀,那麼它們就是“同胚”的。基于這個視角,幾乎所有的日常用品都同胚于球體或者環(甜甜圈)等等。

拓撲圖問題(拓撲學家分不清咖啡杯和甜甜圈)1

△ 經過連續變形後,所有的日常用品都可以歸類為幾種拓撲結構。(© Robert Coolman)

有些拓撲學分支允許物體在拉伸時穿越自己本身,有些則不允許。當我們考慮一個表面可以穿越其本身時,我們一定要注意這個表面不能被無限的捏緊,因為這會造成不連續性。這裡,有一個非常著名的例子就是你能夠把一個球體的内部翻到外面來嗎?如果你的答案是不可能,那你就錯了。雖然這很難,但還是可以實現的:

拓撲圖問題(拓撲學家分不清咖啡杯和甜甜圈)2

【歐拉示性數】

把球面和甜甜圈表面的差異用數字表示便是歐拉示性數。球面的歐拉示性數為2,甜甜圈表面的歐拉示性數為0。歐拉示性數不同的表面是無法讓其發生連續變化的。

這邊我來稍微解釋一下歐拉示性數的計算方法。球面和甜甜圈的表面可以用三角形的組合來表示,并稱之為“三角剖分”。例如,我們可以把四個三角形組成的四面體揉搓成一個球面,也就是說,球面可以分割成四個三角形。歐拉示性數(EC)是通過被三角剖分的表面的“面(F)”,“邊(E)” 和 “頂點(V)”的數量計算出來的,即EC = F - E V。球面被分割成四個三角形後,面的數量為4、邊的數量為6、頂點的數量為4,因此歐拉示性數為2。即使嘗試其他的分割方法,也不會改變歐拉示性數的答案。

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△ 柏拉圖多面體的歐拉示性數皆為2.(© Robert Coolman)

根據同樣的公式可以計算出甜甜圈的歐拉示性數為0, 所有的環面的歐拉示性數皆為0。下圖是另一個例子:

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△ 環多面體的一個例子。該多面體的F=16,V=16,E=32,因此EC=0.(© Robert Coolman)

如果物體有兩個環面,那麼歐拉示性數就是負數,即EC= −2;如果有三個環面,那麼EC= −4,每每多增加一個“洞”,歐拉示性數就要減去2。

【不可定向曲面】

數學家斷言:莫比烏斯帶隻有一邊。如果你不相信,就請剪開一個驗證,帶子分離時候卻還是相連。

到目前為止,我們讨論的所有形狀都有一個共同特點就是:它們都是可定向的。舉個例子,如果有一隻小蟲沿着一個環的外表面爬行,它會永遠保持在外表面,而不會爬到内表面,反之亦然。但是也存在不可定向的曲面,這就表示這隻小蟲可以在兩個面上同時爬行。換句話說,在二維平面,不可定向的曲面并沒有“内部”和“外部”之分。大家最熟悉的一個例子莫過于莫比烏斯帶了(歐拉示性數為0)。

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△ 莫比烏斯帶是不可定向曲面。(© Wikipedia)

雖然像“莫比烏斯帶的兩個面”這樣的說法有助于介紹我們的概念,但是這與拓撲學的思想是背道而馳的,因為在拓撲學中任何曲面都是二維的,所以在其中的生物也是二維的。從這個角度思考,想像一隻二維的小蟲住在一個二維的曲面内部可能更加合适。在可定向的曲面中,我們有右手方向的小蟲,和左手方向的小蟲。但是對于不可定向的曲面,我們無法區分右手方向和左手方向的小蟲。

換句話說,不能通過沿曲面滑動把左手變成右手或把順時針變為逆時針的曲面被稱為可定向的。例如,球面、環面和雙環面試可定向的。一個能做到上述改變的曲面,比方說莫比烏斯帶,被稱為不可定向的。可定向性(或不可定向性)是一種拓撲不變量。

【基本多邊形】

在認為曲面是二維的前提下,我們可以很方便地通過基本多邊形來展現拓撲學空間。如果要将二維的基本多邊形轉化為三維的物體,我們隻要将曲面的相應邊向箭頭所指的方向拉伸并粘合。如下圖,将平行的邊(紅色箭頭指向相同方向)粘合會形成圓柱(EC = 0),将反向平行(紅色箭頭指向相反方向)的邊粘合會得到莫比烏斯帶(EC = 0)。

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△ 圓柱和莫比烏斯的基本多邊形。(© Robert Coolman)

一隻二維的小蟲爬過帶有箭頭的邊界,會被轉移到另一側的邊界,并按照原有箭頭和現在箭頭的關系給予它一個方向。這隻小蟲的走向是保持一緻還是被反向了會告訴我們這一曲面是可定向的還是不可定向的。(注意,小蟲是不允許穿過虛線邊界的。)

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△ 在二維表面的莫比烏斯帶的已知二維小蟲。注意,當小蟲穿越了邊界之後他的方向發生了改變。由于對這隻小蟲來說并沒有左右之分,因此這個曲面是不可定向的。(© Robert Coolman)

如果要制作一個環面,先像之前那樣制作一個圓柱,然後将圓柱的兩端拉拉伸直到它們相遇并粘合在一起。如果要制作一個球體,将曲面在角落上折疊形成一個三角形的信封狀,然後使它膨脹直到他成為一個球體。

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△ 環面和球面的基本多邊形。(© Robert Coolman)

莫比烏斯環的兩條虛線邊可以通過兩種不同的方式結合,并形成兩個無定向的曲面:克萊因瓶(EC=0),可以想象成一個镂空的紅酒瓶,延遲酒瓶的頸部,向外扭曲伸進瓶子内部,再與底部的洞相連接;另一個是交叉帽磁盤(cross-capped disk)(EC=1),可以被認為是兩個莫比烏斯帶相交。在莫比烏斯帶上,如果還有第三個維度來包含上述的基本多邊形特征,我們可以大概搞清楚空間的“形狀”。上述的兩個曲面都需要曲面可以穿越其自身。一個二維的小蟲是無法感知到這一交叉的。隻是對于它來說,整個世界都被翻轉了。

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△ 克萊因瓶和交叉帽的基本多邊形。在三維空間中,隻有允許克萊因瓶穿過它自身,才能把這種曲面構造出來。(© Robert Coolman)

【拓撲學的一些著名問題】

在拓撲學領域,有許多非常著名的問題被提出來。每一個都可以寫一個篇幅,不過下面我隻簡單的介紹幾個比較廣為人知的問題:

  • 柯尼斯堡七橋問題:通常被認為是拓撲學所研究的第一個問題,在古普魯士的柯尼斯堡鎮曾經有七座橋,人們曾希望知道是否可以一次性的穿過這七座橋而不走重複的路。歐拉在1735年證明了這是不可能的。

  • 掌心和指紋的紋理樣式:指紋都具有共同的特點,如環點和三叉點(三條線融合)。在1965年,英國醫學遺傳學家Lionel Penrose指出掌紋和指紋服從一個普适的規律:任何有5隻手指的手,三叉點一定比環點多4個。1979年他的兒子,Roger Penrose使用拓撲學證明了這一規律。Roger Penrose就是與霍金一起證明奇點定理的科學家。

  • 毛球定理:一個長滿毛的球體,你永遠無法理順球上的毛發。至少會有一處毛發是筆直站立的。

  • 球面外翻:在允許與自身相交的情況下,是否有可能無損地、平滑地、不留折痕地把一個球面的内側翻到外面來。答案是肯定的。

  • 紐結理論:拓撲學的一個分支,專門解決不能夠自己穿過自己或其它的環。其中一個專注的問題是确定兩個不同的扭結是否是同胚的。諾貝爾化學獎中提到的三葉形扭結就屬于這一領域。

  • 四色定理:1852年,一個名叫Francis Guthrie的數學家提出了一個看似無足輕重的問題:為了能在任何一張地圖上給各個區域着色,你至少需要多少種顔色?唯一的約定是任何兩個共有一條公共邊界的區域必須被着上不同的顔色。答案自然是四種。那麼是否存在需要五種顔色的地圖?答案是否定的,但是這個問題用了100多年才被證明。該定理在計算機領域有重大應用。

  • 龐加萊猜想:在本文中,我們隻專注在二維空間的讨論,但是三維空間之間也會有奇怪的方式相互連接。龐加萊猜想首次于1904年問道:”考慮一個沒有邊界的三維流形V,即使V與三維球面不同胚,V的基本群是不是也可以是平凡的。”抛開專業屬于,他問的其實是“一個具有圈收縮性質的三維流形是不是可能不與三維球面等價。” 将近一個世紀之後,2000年,該猜想入選為克雷數學研究所懸賞的七個千禧年大獎難題之一。龐加萊猜想是七個問題中第一個被解決的,由俄羅斯數學家Grigori Perelman在2002年解決。

目前為止,我們隻是簡單的介紹了拓撲學,當然,它背後的魅力遠遠不止這些。除了前兩天提到的拓撲相變和化學拓撲之外,它還被廣泛應用于許多其他學術領域,例如:

  • 理論物理 (比如量子場論和弦理論);

  • 宇宙學 (用于研究宇宙的形狀);

  • 生物學 (纏繞的 DNA 和預測器官和其他身體部位的生長);

  • 計算機科學 (用于确定數據集的大結構);

  • 機器人(設計機械臂的運動)。

等等。

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