有關線段最值是近年來中考數學熱點題型，也是教學中的難點，對于有關線段和之最值，我們常常會想到将軍飲馬，那麼有關于單條線段的最值可能較多的還是圓。我們先來看看圓有關基本知識吧，圓的定義：在同一個平面内，到定點等于定長的點的集合就是圓。那麼既然圓最大的特點就是半徑相等，那麼點與圓上各點間距離比較就顯而易見了。

情形1：P為圓O外一定點，則點P與圓心O距離為定值，那麼P點與圓上各點的連接線段中，最小值為圖1中PA，最大值為圖2中PA.

情形1的動态演示

情形2：P為圓O内一定點，則點P與圓上各點的連接線段中，最小值為圖4中PA，最大值為圖5中PA.

情形2的動态演示

情形3：P為圓上一定點，其到圓上其它各點的連接線段中，最大值為直徑，最小值為0.

模型特征總結：一箭穿心（所在的直線必經圓心）

例題1．如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝8，BC＝3，P是△ABC内部的一個動點，且滿足∠APB＝90°，則線段CP長的最小值為 ．

【分析】首先證明點P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC與⊙O交于點P，此時PC最小，利用勾股定理求出OC即可解決問題．解題的關鍵是确定點P位置，學會求圓外一點到圓的最小、最大距離，屬于中考常考題型．

【解答】∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，

∵∠APB＝90°，∴點P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC交⊙O于點P，此

變式1．如圖，Rt△ABC中，AC⊥BC，AC＝8，BC＝12，P是△ABC内部的一個動點，且滿足∠PCA＝∠PBC，則線段AP長的最小值為 ．

【解析】利用∠PCA＝∠PBC得∠PBC ∠PCB＝90°，則∠BPC＝90°，根據圓周角定理的推論可判定點P在以BC為直角的⊙O上，連接OA交⊙O于P，此時PA的長最小，然後利用勾股定理計算出OA=10， 所以PA長的最小值為10﹣6＝4．故答案為4．

例題2．如圖，菱形ABCD邊長為4，∠A＝60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，将△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A1MN，連接A1C，則A1C的最小值是 ．

【分析】根據題意得出A′的位置，進而利用銳角三角函數關系求出A′C的長即可，解題的關鍵是學會添加常用輔助圓，構造直角三角形解決問題，不同的突破點是正确尋找點A′的位置．

【解答】由折疊知A′M＝AM，又M是AD的中點，可得MA＝MA′＝MD，做點A′在以AD為直徑的圓上，如圖2，以點M為圓心，MA為半徑畫⊙M，過M作MH⊥CD，垂足為H

∵MA′是定值，A′C長度取最小值時，即A′在MC上時，

∵在邊長為4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M為AD中點，

∴2MD＝AD＝CD＝4，∠HDM＝60°，∴∠HMD＝30°，

變式2-1．如圖，在邊長為8的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是邊AD的中點，N是AB上一點，将△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A'MN，連接A'B，則A'B的取值範圍 ．

【解析】連接BM，BD，依據M是邊AD的中點，△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A'MN，即可得到點A'的軌迹為以AD為直徑的半圓M，依據A'B A'M≥BM，即可得出A'B≥BM﹣A'M＝4√3﹣4，當點N與點A或點D重合時，A'B的最大值為8，即可得到A'B的取值範圍4√3﹣4≤A'B≤8．

變式2-2．如圖，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2√3，P為△ACD内一點，連接AP，BP，BP與AC交于點G，且∠PAG＝∠PBC．E為AD邊上一動點，則CE PE的最小值為 ．

【解析】本題考查菱形的性質，等邊三角形的性質；能夠判斷出點P的運動軌迹，根據垂線段最短求最小值是解題的關鍵．由已知可以得到△ABC是等邊三角形，點P的運動軌迹在△ABC的外接圓上，過點C作CE⊥AD與圓相交于點P，與AD相交于點E，此時CE PE最小，∵∠D＝60°，AB＝2√3，∴CE＝2√3×√3/2＝3.

變式2-3．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝120°，AB＝4，點E是BC的中點，點F在CD邊上，點C關于EF的對稱點為C′，連接EC′，FC′，當點F從C運動到點D的過程中，AC′長度的最大值與最小值的差為 ．

【解析】先确定最大值：①當F與C重合時，C′與C重合，AC′＝AC最大，作對角線求AC即可,可求得 AC′＝AC＝4√3；

②如圖2因為C與C′關于EF對稱，所以當點F從C運動到點D的過程中，C′在以E為圓心，以EC為半徑的圓上運動，當點C′在AE上時，AC′最小，構建直角三角形利用勾股定理求AE和C′E的長，根據AC′＝AE﹣C′E＝2√7﹣2，最後計算最大值與最小值的差4√3﹣（2√7﹣2）＝4√3﹣2√7 2，AC′長度的最大值與最小值的差為：4√3﹣2√7 2，故答案為：4√3﹣2√7 2．

例題3．已知菱形ABCD中，∠BAC=60°，AB=4,點E為AD的中點，如圖，現将△ACD以點C為中心進行旋轉，求BE的最大值和最小值。

【解析】我們先看旋轉某個角度的圖形，如下圖，我們仍然可以類比對折時求最值的思路，先确定要求線段的兩端點中，哪個是動點，其運動所在軌迹是否是圓，再由旋轉找到定長，即圓的半徑。當圓作出來時，最大值和最小值就都迎刃而解了。BE的最大值為4 2√3，最小值4-2√3.

例題3的動态分析

變式3.如圖3，△ABC、△EFG均是邊長為4的等邊三角形，點D是邊BC、EF的中點，直線AG、FC相交于點M，當△EFG繞點D旋轉時，則線段BM長的最小值和最大值分别是 和 ．

【解析】取AC的中點O，連接AD、DG、BO、OM，如圖，易證△DAG∽△DCF，則有∠DAG＝∠DCF，從而可得A、D、C、M四點共圓，根據兩點之間線段最短可得BO≤BM OM，即BM≥BO﹣OM，當M在線段BO與該圓的交點處時，線段BM最小，隻需求出BO、OM的值，就可解決問題．故答案是：2√3﹣2；2√3 2．

方法總結：一箭穿心模型，通常為一條線段的最值問題，即動點的軌迹為圓或弧，利用點與圓的位置關系得到結果。

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