三角函數是六類基本初等函數之一，是以角度（數學上最常用弧度制，下同）為自變量，角度對應任意角終邊與單位圓交點坐标或其比值為因變量的函數。也可以等價地用與單位圓有關的各種線段的長度來定義。三角函數在研究三角形和圓等幾何形狀的性質時有重要作用，也是研究周期性現象的基礎數學工具。在數學分析中，三角函數也被定義為無窮級數或特定微分方程的解，允許它們的取值擴展到任意實數值，甚至是複數值。

常見的三角函數包括正弦函數、餘弦函數和正切函數。在航海學、測繪學、工程學等其他學科中，還會用到如餘切函數、正割函數、餘割函數、正矢函數、餘矢函數、半正矢函數、半餘矢函數等其他的三角函數。不同的三角函數之間的關系可以通過幾何直觀或者計算得出，稱為三角恒等式。

三角函數一般用于計算三角形中未知長度的邊和未知的角度，在導航、工程學以及物理學方面都有廣泛的用途。另外，以三角函數為模版，可以定義一類相似的函數，叫做雙曲函數。常見的雙曲函數也被稱為雙曲正弦函數、雙曲餘弦函數等等。三角函數（也叫做圓函數）是角的函數；它們在研究三角形和建模周期現象和許多其他應用中是很重要的。三角函數通常定義為包含這個角的直角三角形的兩個邊的比率，也可以等價的定義為單位圓上的各種線段的長度。更現代的定義把它們表達為無窮級數或特定微分方程的解，允許它們擴展到任意正數和負數值，甚至是複數值。

阿拉伯曆史

進入15世紀後，阿拉伯數學文化開始傳入歐洲。随着歐洲商業的興盛，航行、曆法測定和地理測繪中出現了對三角學的需求。在翻譯阿拉伯數學著作的同時，歐洲數學家開始制作更詳細精确的三角函數值表。哥白尼的學生喬治·約阿希姆·瑞提克斯制作了間隔10秒(10″)的正弦表，有9位精确值。瑞提克斯還改變了正弦的定義，原來稱弧對應的弦長是正弦，瑞提克斯則将角度對應的弦長稱為正弦。16世紀後，數學家開始将古希臘有關球面三角的結果和定理轉化為平面三角定理。弗朗索瓦·韋達給出了托勒密的不少結果對應的平面三角形式。他還嘗試計算了多倍角正弦的表達方式。

18世紀開始，随着解析幾何等分析學工具的引進，數學家們開始對三角函數進行分析學上的研究。牛頓在1669年的《分析學》一書中給出了正弦和餘弦函數的無窮級數表示。Collins将牛頓的結果告訴了詹姆斯·格列高裡，後者進一步給出了正切等三角函數的無窮級數。萊布尼茲在1673年左右也獨立得到了這一結果。歐拉的《無窮小量分析引論》（Introductio in Analysin Infinitorum，1748年）對建立三角函數的分析處理做了最主要的貢獻，他定義三角函數為無窮級數，并表述了歐拉公式，還有使用接近現代的簡寫sin.、cos.、tang.、cot.、sec.和cosec.。

弦表的發明

根據認識，弦表的制作似應該是由一系列不同的角出發，去作一系列直角三角形，然後一一量出AC，A’C’，A’’C’’…之間的距離。然而，第一張弦表制作者希臘文學家希帕克 (Hipparchus，約前180~前125)不是這樣作，他采用的是在同一個固定的圓内，去計算給定度數的圓弧AB所對應的弦AB的長(如圖三)。這就是說，希帕克是靠計算，而不是靠工具量出弦長來制表的，這正是他的卓越之處。希帕克的原著早已失傳，我們所知關于希帕克在三角學上的成就，是從公元二世紀希臘著名天文學家托勒密的遺著《天文集》中得到的。雖然托勒密說他的這些成就出自希帕克，但事實上不少是他自己的創造。

據托勒密書中記載，為了度量圓弧與弦長，他們采用了巴比倫人的60進位法。把圓周360等分，把它的半徑60等分，在圓周和半徑的每一等分中再等分60份，每一小份又等分為60份，這樣就得出了托勒密所謂的第一小份和第二小份。很久以後，羅馬人把它們分别取名為”partes minutae primae”和”partes minutae secundae”；後來，這兩個名字演變為”minute”和”second”，成為角和時間的度量上”分”和”秒”這兩個單位得起源。

建立了半徑與圓周的度量單位以後，希帕克和托勒密先着手計算一些特殊圓弧所對應的弦長。比如 60°弧(1/6圓周長)所對的弦長，正好是内接正六邊形的邊長，它與半徑相等，因此得出60°弧對應的弦值是60個半徑單位(半徑長的1/60為一個單位)；用同樣的方法，可以算出120°弧、90°弧以及72°弧所對應的弦值(如圖四)。有了這些弧所對應的弦值，接着就利用所稱的”托勒密定理”，來推算兩條已知所對弦長的弧的”和”與”差”所對的弦長，以及由一條弧所對的弦長來計算這條弧的一半所對的弦長。正是基于這樣一種幾何上的推算。他們終于造出了世界上第一張弦表。

傳入中國

三角學輸入中國，開始于明崇祯4年(1631年)，這一年，鄧玉函、湯若望和徐光啟合編《大測》，作為曆書的一部份呈獻給朝廷，這是我國第一部編譯的三角學。在《大測》中，首先将sine譯為”正半弦”，簡稱”正弦”，這就成了“正弦”一詞的由來。

三角函數是數學中屬于初等函數中的超越函數的函數。它們的本質是任何角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數是在平面直角坐标系中定義的。其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中，但并不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解，将其定義擴展到複數系。

三角函數公式看似很多、很複雜，但隻要掌握了三角函數的本質及内部規律，就會發現三角函數各個公式之間有強大的聯系。而掌握三角函數的内部規律及本質也是學好三角函數的關鍵所在。

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