天上的星星有多少呢？可能和自然數一樣多吧？——阿拉丁

我們從小就在學習自然數，隻不過到了高中才專門提到它。

還記得從小就伴随我們的十以内的加減乘除，百以内的加減乘除......

其實自然數概念指用以計量事物的件數或表示事物件數的數。即用數碼0，1，2，3，4，……所表示的數。自然數由0開始，一個接一個，組成一個無窮集體。

又是無窮無窮無盡，這真是個讓人頭大的詞

這又是我們的好朋友們，從小的數學課就少不了他們的身影。

我們在小學，老師告訴我們

“自然數按能否被2整除分為奇數和偶數”

那我們就想當然的認為奇數在自然數中占一半，偶數也占一半，那自然數顯然是奇數或者偶數的兩倍。

至少在小學時候的阿拉丁是這麼認為的。

但是事實真的就是這樣嗎？

映射與基數驚人的發現

上了高中我們學習了集合和函數映射等概念，再去思考當你小學認為理所當然的問題，發現了細思極恐的事情！

我們把我們要研究的對象放進集合中研究

我們發現如果将自然數集對偶數集做一個一一映射：

也就是說

我們發現每一個自然數中的數字都有唯一一個偶數集中的數字與之對應，那麼驚人的事情發生了！

• 自然數的個數和偶數個數一樣多！

而且伴随着又一個驚人的事情發生了

• 自然數的個數和奇數個數一樣多！

完了，我九年義務教育的知識體系崩塌了！！！

新知的發現

其實這并不是什麼毀三觀的發現，這隻是我們知識不完善導緻的。

我們将可以和自然數集建立一一對應關系的集合叫做可數集。而且我們專門給自然數的個數取了個名字

讀作：阿列夫零。這些可數集的元素個數都是

一般的我們把集合的元素個數稱之為集合的基數（或勢），顯然有限集合的基數為有限數。

無限集合的基數可以被證明最小的無限基數為

（這裡就不證明了，畢竟是科普類文章）

因此我們看到奇數集和偶數集都能與自然數集建立一一對應的關系，因此他們的個數都是相同的也就不奇怪了。

那麼為什麼明明是自己的真子集卻集合個數相等呢？

其實，一個可數集是可以包含可數的真子集的，反過來兩個可數集也是可以并成一個可數集，而且他們的元素個數都是相同的。

這裡就是“無窮”的奇妙之處，無窮打開了人們被數字緊固的思維，和有限數不同，無窮并不是一個确定的數，無窮的一半也是無窮，無窮的兩倍也是無窮。

他永遠延伸着，是一種變化着的成長，永遠處在構造之中，沒有完成的終點。

這裡還是要注意一點：并不是所有的無限集合都是可數集，我們的實數集就不是可數集，它與自然數集有着不同的基數，而且實數集的基數要大于自然數集。無窮基數最小的可以被證明為

但是沒有最大的無窮基數。

今天你學廢了嗎？

後記

集合的基數和勢的概念是研究集合論的一項重點分支，是将集合有限和無限溝通起來的重要橋梁，如果有興趣的同學可以去看看集合論方面的書籍。

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