#知識創作人第七季#

前言：筆者之所以要向大家講一點點數學，是為了提升大家的閱讀硬實力，同時降低筆者科普的難度。筆者認為，數學是理解物理和工程的“工具”，數學之于自然科學，就如同建造房屋用的磚塊和鋼筋水泥。它是研究物理和工程技術的骨架，是必不可少的東西。(筆者支持數學工具論，還請數學系的朋友不要打我)

筆者的職業是工程師，長期的實踐經驗告訴我，必須把精力分配到最關鍵(the key point)的地方去。因此，筆者講解物理的時候也是以工程思維進行叙述的。對于數學，我是一個不折不扣的“拿來主義”者。

什麼是工程思維呢？在下的理解是：

用什麼學什麼，學什麼用什麼。現學現賣是做項目的正确方法。不用的暫時不需要管，等用到再說。

我們并不是研究數學的專業人士，沒必要懂得數學界的“十萬個為什麼”隻需要懂得數學界的冰山一角就夠用了。所以不需要懂數學證明，業餘愛好者要做到的事情，隻是把束之高閣的高等數學用初等數學“展”出來。還有就是對複雜的公式和概念“可視化”。

讓我們進入正題：

你開門見山地問道：什麼是梯度呢？梯度有什麼用呢？

我答到：你想理解空間曲面的變化情況嗎？你想理解電磁場長什麼樣子嗎？你想理解引力場長什麼樣子嗎？你若是想，便需要理解梯度的意義。

我們常見的衛星鍋，不知道諸位注意過沒有，它的表面是抛物面：

衛星鍋的表面是抛物面

在數學中，笛卡爾坐标系下的抛物面長這樣子(它的胖瘦可以任意收縮)：

數學中的抛物面

既然抛物面已經放進了數學坐标系裡，那麼我們能用數字符号描述它，你知道它的數學表達式是什麼嗎？

抛物面數學表達式

用這個公式可以描述所有的抛物面（包括衛星鍋，近視眼鏡片），a和b是任意常數。

梯度，我們用符号grad（f）來表示，grad是gradient的縮寫，f是函數表達式的概括，具體問題具體分析。

抛物面的梯度grad是什麼呢？

算抛物面梯度的公式，它長這樣子：

把抛物面公式帶進去，你就能得到：

x²的導數是2x，y²的導數是2y

式中i 和 j 分别 是 x軸 和 y軸 的基向量，它代表的矢量為單位1。

這個表達式什麼意義呢？它告訴我們，

在x軸方向上，抛物面是按照這個公式進行變化的：

在y軸方向上，抛物面是按照這個公式進行變化的：

許多近視眼鏡片也是抛物面

現在，讓我們稍微專業一些：

我們引入梯度的定義：

二維梯度的定義

三維梯度的定義，隻是增加了k方向

再引入方向導數的概念，它的意義是：指定一個你要研究的方向，在你要研究的這個方向上梯度grad是如何變化的。

你要研究的曲面部位可以用這個e向量來指向。

請大家仔細研究這張圖：

直觀的梯度：

小球在抛物碗上方下落，箭頭反應的就是它的梯度變化

通過MATLAB得到的梯度直觀變化圖：圖中有x，y，z三個方向，

（創作不易，喜歡就請點個關注吧，筆者寫作的極大動力來自諸君的支持）

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