啥是二進制計數法？

二進制計數法是計算機設計的基礎，它隻用兩個數碼0和1來表示數，在計數時，滿二進一（而十進制計數法需要十個數碼0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，在計數時是滿十進一）．

十進制中的數碼0，在二進制中仍是0，十進制中的1，在二進制中也仍是1．但十進制中的2，在二進制中就沒有2，那如何表示二進制中的2呢？

十進制中的加法運算在二進制中仍然成立。二進制中的2就是二進制中的1 1的和，由于1 1滿2就得進一，由于恰好是2，所以末位數（相當于十進制中的個位數）記為0，前一位數（相當于十進制中的十位數）記為1，結果就是10.也就是說，二進制中的1 1=10；

同樣地，在二進制中的1011 11，其算法類似于十進制中的加法，但要注意滿2進一，不能出現0和1以外的數碼。将1011的“個位數1”與11的“個位數1”相加，得10，寫0進1；再将1011的“十位數1”與11的“十位數1”相加，得10，再加上進位得到的1，得11，寫1進1，再将1011中的10與進位的1相加，得10 1=11。

所以二進制中的1011 11=1110；

為了表示一個數是二進制記數法，通常在這個數的右下角寫上（2）．如十進制中的2在二進制中寫成10_（2），3在二進制中寫為11（2），4寫成100_（2），5寫成101_（2），6寫成110_（2），…，也就是說，在二進制中，0＋0＝0（也可以看作是十進制中的0＋0＝0），二進制中1＋1＝10（即十進制中的1＋1＝2），二進制中的10＋1＝11（即十進制中的2＋1＝3），二進制中的11＋1＝100（即十進制中的3＋1＝4），二進制中的100＋1＝101（即十進制中的4＋1＝5）……

二進制數通常寫成以2為底數的幂的和的形式．即二進制的數：N＝a₁a₂…a_n（a₁，a₂，…，a_n為1或0）可以寫成N＝a₁×2^n-1＋a₂×2^n-2＋…＋a_n×2⁰（這裡2⁰＝1），計算後的結果便是十進制中的數．如：

11010011_（2）化為十進制的數是：

1×2⁷ 1×2⁶ 0×2⁵ 1×2⁴ 0×2³ 0×2² 1×2¹ 1×2⁰

＝1×128＋1×64＋0＋1×16＋0＋0＋1×2＋1×1＝211．

因此，二進制中的11010011化為十進制，就是211．

反過來，要把一個十進制的數化為二進制的數，一般有兩種方法：

1．把十進制的數寫成以2為底的幂的和的形式．如：化22為二進制數．

因為22＝16 4 2=2⁴ 2² 2¹，

所以22＝1×2⁴ 0×2³ 1×2² 1×2¹ 0×2⁰

把2的n次幂前的數1，0，1，1，0依次排列即得10110，這就是十進制中的22在二進制中對應的數．

2．利用二除取餘法：即把十進制數除以2，一直除到商為0為止，每次取餘數0或者1，依次作為從右邊到左邊的字節．如：化22為二進制數．

22÷2＝11……0，11÷2＝5……1，5÷2＝2……1，2÷2＝1……0，1÷2＝0……1

所以22＝10110_（2）．，

在二進制中同樣可以進行減法運算．如10-10=0，110-11=11，1011-1101=-（1101-1011）=-10．

思考下列問題：

（1）十進制中的16在二進制中對應的數是 ，二進制中的111001在十進制中對應的數是 ；

（2）在二進制中計算：101 11= ，10111-11001= ；

（3）請利用二進制記數法計算1＋2＋2² 2³ … 2²⁰¹³-2²⁰¹⁴．

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