一道1985年巴爾幹半島的數學競賽題
如圖∠BAC=120°， AD和CE是角分線，交點為I，DE和BI的交點為Z， 求∠DAZ
解：在求解之前證明一個引理，如圖：
如圖可知：
BE/AE=BF/AS=asinα/b.sianα=a/b, （1）
即角分線分割對邊的比例與其兩邊成比例，該定理的逆定理也成立，即滿足比例相等的分割線一定是角分線。（推理1）
此外還需要證明一下對角線的公式，如下圖，利用角分線分成的兩個三角形面積等于三角形ABC的面積有：
若AD為x, 則：
cx/2sinα bx/2sinα=bc/2 sin2α
而sin2α=2sinαcosα
所以AD=x=2bc·cosα/(b c)
此題有：
因為A=120°，由此得：
這裡還需要證明一個關系，如圖:
利用正弦定理有：
BD/sinα=c/sinβ
DC/sinα=b/sin(180°-β)=b/sinβ
BD DC=b, BD/c=sinα/sinβ
由此推出：
再根據上面已經證明的：
所以：
上式的恒等利用了（1）的證明結果。
根據這個等式，我們按照上面得出的推理（1）可知DE是∠ADB的角分線，點Z是△ADB的内心（因為BI是角分線），因此∠DAZ=30°。
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