本文既可作為老少皆宜的休閑文章來看,也可作為本科生速成期末考試的靈丹妙藥(笑)
珍貴老照片:狄拉克和泡利
這次的内容很簡單很簡單,我就講明白一個公式:
它的通解是:
诶呀,賊吓人,對吧,如果您是一位大學生,很可能需要把它背會才能通過考試。
首先提示一下, 強烈建議大家先閱讀筆者之前講微分方程的文章,以免看不懂。
話不多說,我們看一個例子:
如何求這個方程的通解呢?
我并不想讓大家直接去算,我們以dy/dx(y')為高度軸,x和y(f(x))分别為變量建立一個三維坐标系,我想讓大家體會一下微分方程為什麼被稱為微分方程
z軸的物理意義是導數,x,y軸各自獨立變化
這個圖反映的是導數y’和x,f(x)(y=f(x))之間的變化關系,然而y和x之間依然存在其它的内在聯系。它隻能解析一部分信息,甚至裡面的很多信息并不存在。
大家看了之後,心中不由得感慨道:
“多麼直觀,多麼奇妙的數學啊,可惜我曾經的老師隻是計算,沒能讓我領略這般風景~”
我們把上面那個公式拿過來比對一下:
發現,p(x)=tan(x),q(x)=cos(x),二話不說,我們套進之前那個很長的算式裡看看情況:
而:
所以原式化為:
我們簡單算一下,可以知道:
因為C是任意的,所以我們就可以把這些C都耦合到一塊兒去,變成一個常數C:
于是,我們算出了通解
這個函數是什麼呢?簡單給大家看一下吧:
事實上,我們給這種形式的方程起了一個名字:一階非齊次線性方程;
如果q(x)=0,那一坨積分套積分就沒有了,我們也給它起了個名字,一階齊次線性方程:
齊次方程便簡單了
一階的意思是方程最高就一階導,齊次這個概念太麻煩無需理睬,不理解不影響大家理解它的本質,線性的意思指量與量成比例,成直線關系。
我個人覺得,多了這些文字描述隻會徒增煩惱,你覺得呢?
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