自然對數有什麼“自然”的-e的由來？

牛津英語字典這樣定義對數:

我們可以快速回顧對數的基本事實如下，

讓我們從一個簡單的公式開始:

如果已知x, y, z中的任意兩個，我們就可以确定第三個:

•如果知道x和y，就可以用求幂的方法求出z。

•如果y和z已知，我們可以執行“提取根”操作來确定x:

如果我們知道x和z，滿足 = z 的數y(指數)稱為“z的以x為底的對數”，記作 z 。如果從上下文來看，底數x是清楚的，就不需要特意地提到。

因此，對數隻是指數，而“指數定律”可以解釋為“對數定律”:

= 1 意味着 1 = 0

• = x 意味着 x = 1
• (因此 y = 1 隐含着 x = y)
• · = 意味着 (a·b) = a logx b
• ( = 意味着 = b· a

特别地, 假設有一個以x為底的對數表，但需要以y為底，即 logy c. ，則得出：

因此，從一個底切換到另一個底很容易，這取決于方便性。正如Briggs首先指出的，以10為底的對數特别方便用于以10為底的數字的計算，這是我們的通常做法。通常，以10為底的對數被稱為“普通對數”，通常縮寫為“”。

當然，我們喜歡以10為基數寫數字，這本質上是一種生物學上的意外，這與古代用手指數數字的習慣遙相呼應，其中最常見的天賦是10。(據推測，如果二趾樹懶發明了算術，基數為4的樹懶可能更常用!)

歐拉首先注意到對數的底數選擇有一個更通用的基底。顯然，他是第一個把對數看作一個“函數”，而不僅僅是一個便于計算的表格的人。下面是兩個對數函數的圖。“平坦”曲線是以10為底的對數曲線，“陡峭”曲線是以2為底的對數曲線。換底公式表明任何兩條這樣的曲線都與一個比例常數有關。

特别是,(正如你可能從繪制的曲線觀察到)歐拉做出了簡單的觀察,這一點,對于x的值接近x = 1, x的對數(任何基地)總是接近于零——事實上,說,x = 1 y, y與一個非常小的數字, x≈•y,比例常數,決于底b。

值得注意的是，這種近似保留了對數的基本定律

因為y和z非常小時， y·z << y z .

當然,歐拉認可,常數Kb有些麻煩,因此有這樣的合理的要求，如果選擇合适的底的對數，使得Kb = 1,也就是說,一個底為b ，對于很小y的值，使logb (1 y)≈y,。對于下式利用選擇的這個底b,我們随着n的無限增加,1/n就變得任意小，

兩側同時乘以n,

當n無限增加時，我們得到

或者,

因為對數函數是連續的。

因此,對于極限limn→∞,歐拉自然地引進了一個了縮寫“e”,是對數的獨特底，對于很小的y,有屬性logb (1 y)≈y, 這也許讓e的“自然”選擇成為對數的底。事實上以e為底的對數通常被稱為“自然對數。”在常用對數和自然對數同時出現的書中，常用對數通常寫成“log x”，自然對數通常縮寫為“ln x”。(在更高級的書中，常用對數很少使用，縮寫log x經常用于自然對數!)有關e的來源還可可參考自然對數底e是怎麼由來的？

我們也可以很容易地确定其他底的比例常數Kb:

根據換底公式，

所以

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