這是一個高考喜歡考但卻比較少考的考點。
如果函數f(x)在區間[a,b]連續，且f(a)⋅f(b)<0，則f(x)在區間(a,b)至少有一個零點。
理解非常簡單。如圖，點A(a,f(a))在x軸下方，點B(b,f(b))在x軸上方，顯然，函數圖像必然要穿過x軸，每穿過一次，其交點橫坐标就是函數f(x)的零點。
我們可以利用這個定理來判斷方程根的存在，甚至強化這個定理就發展出二分法。
高考通常會這樣考。
如果函數f(x)=...有一個零點x ，則x 在（ ）區間。
A. B. C. D.
解法不啰嗦，定理的證明卻非常艱難。這正符合了我們對好數學的定義：理解容易，證明困難，威力巨大。我很喜歡這個定理。
從這個定理出發，我們還可以（猜出）類比出其他的性質。
比如這樣
猜測1、如果函數f(x)在區間[a,b]連續，且f(a)=A,f(b)=B，則對于A,B之間的任何一個數C，方程f(x)=C至少有一個根。
要得到猜測1很容易，把零點定理的圖歪一下就是了。
猜測2、如果函數f(x)在區間[a,b]連續，可導，且f(a)=f(b)，則區間(a,b)上至少存在一個點x0，使f'(x0）=0
要得到猜測2也很容易，把零點定理的圖變光滑就是。
猜測3、如果函數f(x)在區間[a,b]連續，可導，則區間(a,b)上至少存在一個點x0，使得
要得到猜測3，隻要将猜測2的圖歪一歪即可。
猜測4、如果函數f(x),g(x)都在區間[a,b]連續，可導，則區間(a,b)上至少存在一點x0，使得
猜測4不容易想到，所以比較厲害了，實際上是代入了參數方程。
咱也不要證明，證明好啰嗦，猜應該是很容易的哦，看看圖就猜到了。的确，數學家都是這樣先猜出來，再慢慢想辦法證明的，你猜到了，就說明你有做數學家的潛能啊。
中學學過的那個叫做零點定理，猜測1叫做介值定理，猜測2叫做羅爾中值定理，猜測3比較有名，叫拉格朗日中值定理，猜測4最牛逼，叫柯西中值定理。
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