設A為m×n階矩陣，B為n×s階矩陣。
證明西爾維斯特不等式：
R(AB)≥R(A) R(B)-n
遇到這種比較多個矩陣秩的問題，最常用的方法就是利用分塊矩陣的初等變換。
因為R(AB)≥R(A) R(B)-n，所以
R(AB) n≥R(A) R(B)
R(AB) n為矩陣AB與單位矩陣E組成的分塊矩陣H的秩。
矩陣H
R(A) R(B)為矩陣A與矩陣B組成的分塊矩陣T的秩。
矩陣T
根據題意我們可以知道矩陣H的秩要大于等于矩陣H的秩。
我們對矩陣H進行初等變換
讓矩陣H的第二行乘以矩陣A加到第一行
讓矩陣的第二列右乘以矩陣(-B)加到第二列
讓矩陣的第一列乘以(-1)
由于矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，
所以,矩陣H的秩等于矩陣H’的秩。
從而,R(H)=R(H’)
= R(A) R(E)
=R(A) n
=R(AB) n
由于矩陣T的秩為R(A) R(B)
所以，R(T)≤R(A) n
進而，R(T)≤R(H)
所以，R(A) R(B)≤R(AB) n
即，R(AB)≥R(A) R(B)-n
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