有好事者做了一個投票，　０.９的無限循環和１哪個大？

結果大概有１.６萬人選擇１比較大[微笑]，５千人選擇一樣大[贊]，還有幾百人選擇０.９的無限循環比較大[我想靜靜]，

我估計這幾百個人是異類，大概喜歡搞笑吧[呲牙]。

正确答案是一樣大，上過大學數學才會詳細了解這個命題，需要有極限概念，但初中或者高中數學思維好的人，應該也能想清楚是等于，畢竟那幾個初等證明的邏輯是對的。

要形象地理解這個命題，需要一點想象力，這讓我想起那個著名的希爾伯特無窮旅店。

希爾伯特無窮旅店，說的是部分和整體的勢可以相等，也就是，比如，偶數的個數和自然數個數相等，常理看來，自然數包括奇數和偶數，奇數和偶數大概是一半一半的關系，即看起來奇數的個數是自然數個數的一半，不是嗎，這很明顯啊。

但希爾伯特使用映射的概念，偶數和自然數顯然可以建立一一映射的關系，這不是擺明了個數相等嗎？

所以，得到的教訓就是，對于無窮大，說個數多少沒有意義，無窮大的一半仍然是無窮大，和無窮大的勢一樣。

是不是無窮大的勢都一樣呢，我們接觸到的第一個無窮大是可數無窮大，自然數，整數，有理數的勢都一樣，都是可數無窮大，但是實數個數的勢不是可數無窮大。

可數無窮大具有最小的勢，然後就可能是實數個數的勢，中間還有沒有其他的勢，是一個假設，答案是不知道。

實數的分類是包括有理數和無理數，現在我們知道，有理數在實數集合裡論個數是微不足道的，幾乎可以忽略。

也就是說，數軸上的數幾乎都是無理數。

但是，有理數的個數雖然少，也是無窮大，所以就有如下命題：

任意兩個有理數之間，有無窮多個有理數，也有無窮多個無理數。

任意兩個無理數之間，有無窮多個有理數，也有無窮多個無理數。

當然，任意一個無理數和有理數之間也一樣，有無窮多個有理數，也有無窮多個無理數。

簡單來說，兩個實數，構成的是一個區間，在數軸上就是一個線段，而一個具體的實數，是一個點。一個線段，無論多麼短，都是由無窮多個點構成的。

回到最初的問題，０.９的無限循環和１哪個大，這下問題就被放大了，如果這是兩個數，那麼它就會構成區間（線段），中間必然能夠找到無窮多個有理數，

所以，０.９的無限循環和１必須相等，否則玩笑就開得太大了。

所以，０.９的無限循環和１是同一個實數的兩種不同的表達方式罷了。

實際上，要讨論０.９的無限循環和１是否是同一個數，最重要的還是定義，現代數學，實數大緻就是使用所謂戴德金分割來定義的

19世紀戴德金利用他提出的分割理論，從對有理數集的分割精确地給出了實數的定義，并且該定義作為現代數學實數理論的基礎之一可以推出實數理論中的六大基本定理：确界原理、單調有界定理、閉區間套定理、有限覆蓋定理、緻密性定理和柯西收斂準則。

所以，從實數的定義來看，因為０.９的無限循環和１之間無法定義出來另外一個數，所以它們就是同一個數，定義就是這樣，所以不需要再争論了。

忽然之間有些糊塗了，不知道小學數學該怎麼教了，０.９的無限循環和１是同一個有理數，１是整數，　那麼０.９的無限循環也是整數？

事實上，所有無限循環小數都是有理數，所有有理數也可以寫成無限循環小數的形式，整數也不例外，比如３，也可以寫成２.９的無限循環，我不知道小學生面對這個２.９的無限循環，是否該把它歸類成整數？

這個有趣的問題，也歡迎教小學的數學老師來回答

看來下次小學出題者要嚴謹一些，避開這些坑，出題者要指明，下列數的寫法形式上是整數分數還是循環小數，不要扯到實質大小。

希爾伯特

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