數學歸納法（mathematical induction）是一種重要的數學證明方法，利用它可以證明某些命題對于全體正整數成立.一般地，用數學歸納法證明“命題對于全體正整數成立”的步驟為：（1）證明對于1成立；（2）證明“若P對于成立，則P對于 1成立”.當完成（1）(2)之後，便可斷言：對于全體正整數都成立.

衆所周知，正整數1,2,3,…有無窮多個，數學歸納法用兩個步驟就能完成對于無窮多情況的的證明，它的邏輯基礎是什麼？它是哪種類型的推理？以下筆者談談自己的淺見。

正整數是人類最早認識的數，它看似是最簡單的數，但是由于其具有無限性的特征，在數學中嚴格地描述正整數集合并不簡單. “人生有限，數目無窮.”如果一個數、一個數地研究關于正整數的問題，那麼永遠不可能解決問題. 于是，許多人便從正整數的本質屬性入手，探究如何對正整數集合進行整體性刻畫。在這方面德國數學家康托爾（G. Cantor，1845-1918）和意大利數學家皮亞諾（G. Peano,1858~1932）分别從基數和序數的角度作出重要貢獻。皮亞諾是研究數理邏輯和數學基礎的先驅，1891年他給出了對正整數有序性的嚴格刻畫，即皮亞諾公理. 用現代的數學語言和符号可以把這些公理的意義簡述如下：

，即任意正整數都滿足命題. 因此，我們說數學歸納法是按照三段論展開的嚴格的演繹推理，即在确立一般性的大前提的基礎上，針對具體命題證明小前提，獲得關于具體命題的結論. 由此看來，數學歸納法中“大前提——小前提——結論”的證明結構，與通常的幾何證明在邏輯上具有一緻性. 例如，依據“過直線外一點有且僅有一條直線與平行”這條一般性公理（大前提），再指出“某三角形的頂點是直線外一點”（小前提），便可以得出“過點有且僅有一條直線與邊平行”（結論）, 就是這樣的證明結構. 必須注意，數學歸納法中對于小前提的證明包括（1）和（2）兩步，缺一不可，這是因為大前提——數學歸納法原理中的條件有（1）和（2）兩條，兩者都需具備.

通常我們稱數學歸納法中的第（1）步（證明“=1時命題成立”）為“奠基”，稱第（2）步（證明“若時成立，則 1時也成立”）為“遞推”.第（1）步多為驗證的形式，而第（2）步則需先作出歸納假設“時成立”，再由此推證 “1時成立”.雖然第（2）步的證明一般比第（1）步複雜，但從三段論的角度看，它們都是針對具體命題證明小前提的，大前提則是作為公理而無須證明的數學歸納法原理.

既然數學歸納法是演繹推理，為何其名稱中又有“歸納”二字呢？筆者認為，第一，雖然從整體上看，如前所述數學歸納法符合“先一般，後特殊”的三段論形式，但是從證明中涉及的數的角度看，證法中的第（1）步是針對=1（或

）進行的，這裡的1（或

）是特殊的數，所以這一步是在讨論特殊對象；第（2）步是從“時成立”出發，推導“ 1時也成立”，這裡的已不是一個特殊的、确定的數，而是在進行從“到 1”的一般性遞推. 因此，證明中對的讨論順序則是“先特殊，後一般”的，這不僅符合“由易到難，由簡到繁”的證明思路，也反映了人們發現規律的通常過程. 第二，數學歸納法原理這個一般性原理的産生背景，恰是人們面臨涉及無窮多個數的問題，苦于無法完成無限次驗證，而長期思索如何解決這個難題. 人們經曆了無數次特殊的、具體的驗證性實踐後，認識終于升華，總結出正整數集合的元素具有可以無窮次遞推的後繼關系，并進一步概括了這種規律，從而形成關于正整數的公理. 不完全歸納法的“驗證——發現——想象”，對數學歸納法原理的産生是功不可沒的，沒有驗證性的探索及歸納，就沒有對後繼數及其間包含遞歸關系的一般性認識，也就沒有數學歸納法原理的産生. 由以上兩點，我們可以認為數學歸納法雖是演繹推理，卻具有歸納思想的色彩. 或許正因如此，才在這種方法的冠名中保留了“歸納（induction）”吧！正是由于有了這種證明方法，使得“人生有限，數目無窮”的難題在一定程度上得以解決，使得用有限次步驟證明涉及正整數集合的某些命題有了充足的邏輯基礎.

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