初一剛剛接觸角的運算，餘角補角以及角平分線的知識，同學們感到不好理解，特别是有些題型的規律還沒有很好的掌握，下面通過舉例一一分類說明.

一.角的單位進制在計算中的應用

1.計算下列各題.

(1)153°19'42" 26°40'28"

(2)33°15'16"×5

(3)175°16'30"一47°30‘÷6 4°12'50"×3

【分析】角度相加，把度、分、秒分别相加，滿60要進位;角度的相減，把度、分、秒分别相減，不夠減時，借1作60，并入原數相減;乘法運算時，先把度、分、秒乘以倍數，将結果滿60"進1'，滿60'進1°;除法運算，從度開始除，将餘數化成分，和原有的分相加後再除，将餘數化成秒，和原有的秒相加再除，若除不盡則四舍五入，精确到分時，則将不足30"舍去，30"及超過30"的進為1'，精确到度時，不足30'舍去，30‘及超過30'的進1°.

解:(1)原式=(153 26)°(19 40)'(42 28)"=179°59'70"=180°10"

(2)原式=(33×5)°(15×5)'(16×5)"=165°75'80"=166°16'20"

(3)原式=175°16'30"一(47÷6)°(30÷6)' (4×3)°(12×3)'(50×3)"=175°16'30"一7°(330÷6)' 12°36'150"=175°16'30"一7°55' 12°38'30"=(174一7 12)°(76一55 38)'(30 30)"=179°59'60"=180°.

二.利用角的倍數關系求角

2.如圖，已知∠AOE=130°，∠AOB:∠BOC=2:1，且3∠COE=2∠AOB，求∠AOB的度數.

【分析】從條件看，∠BOC=1/2∠AOB，∠COE=2/3∠AOB，而∠BOC十∠COE十∠AOB=∠AOE=130°，則可列方程求解.

解:設∠AOB=x，∵∠AOB:∠BOC=2:1，則∠BOC=x/2，又3∠COE=2∠AOB，則，∠COE=2x/3，而∠COE ∠BOC ∠AOB=∠AOE=130°，則x x/2 2x/3=130°，解得x=60°，所以∠AOB的度數為60°.

3.如圖，∠AOB，∠BOC，∠COD的度數之比為2:1:3，且∠AOC ∠DOB=140°，求∠AOD的度數.

【分析】條件有三個角的度數比，一般可設未知數列方程求解.

解:設，∠BOC=x，則∠AOB=2x，∠COD=3x，所以∠AOC=∠AOB ∠BOC=3x，∠DOB=∠BOC ∠COD=x 3x=4x，因為∠AOC十∠DOB=140°，所以可得，3x 4x=140°，解得x=20°，∠AOB=2x=40°，∠COD=3x=60°，則∠AOD=∠AOB ∠BOC ∠COD=40° 20° 60°=120°.所以∠AOD的度數為120°.

三.利用餘角、補角的定義判斷角的關系

4.如圖，點A、O、E在同一條直線上，OB，OC，OD都是射線，∠1=∠2，∠1和∠4互為餘角.

(1)∠2和∠3的大小有何關系？

(2)∠3與∠4的大小有何關系？

(3)說明∠AOD是∠3的補角.

【分析】判斷角的大小關系，一般是倍比關系，互餘關系，互補關系，從條件出發進行推導，往往能找見某種關系.

解:(1)因為∠1 ∠4=90°，而∠AOE=180°，所以∠BOD=180°一(∠1 ∠4)=180°一90°=90°，即∠2 ∠3=90°，所以∠2與∠3互餘.

(2)因為∠2 ∠3=90°，∠1=∠2，所以∠1 ∠3=90°，又因為∠1十∠4=90°，所以∠3=∠4.

(3)因為∠4 ∠AOD=180°，而∠3=∠4，所以∠3十∠AOD=180°，所以∠3與∠AOD互補，也即∠AOD是∠3的補角.

5.設∠A，∠B的度數分别為2n一1°和68°一n，且∠A，∠B都是∠C的補角.

(1)求n的值

(2)∠A和∠B是互餘，為什麼？

解:因為∠A，∠B都是∠C的補角，所以∠A=∠B，所以2n一1°=68°一n，解n=23°

(2)∠A和∠B互餘，理由如下:

由(1)知n=23°，所以∠A=2n一1°=2×23°一1=45°，∠B=68°一n=68°一23°=45°，∠A ∠B=90°，所以∠A與∠B互餘.

四.角平分線間的夾角問題

6.如圖，OC是∠AOD的平分線，OE是∠BOD的平分線.

(1)若∠AOB=150°，則∠COE是多少度？

(2)在(1)的條件下，若∠COD=30°，則∠BOE是多少度？

【分析】這類題一般都是利用角平分線的定義，結合條件進行角的推導.

解:(1)因為OC是∠AOD的平分線，所以∠EOD=1/2∠DOB，又因為OE是∠BOD的平分線，所以∠COD=1/2∠AOD，所以∠COE=∠EOD十∠COD=1/2∠DOB 1/2∠AOD=1/2(∠DOB十∠AOD)=1/2∠AOB=1/2×150°=75°.

(2)因為∠COE=75°，∠COD=30°，所以∠DOE=∠COE一∠COD=75°一30°=45°，因為OE平分∠DOB，所以∠BOE=∠DOE=45°.

7.如圖，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC.

(1)求∠MON的度數;

(2)若∠AOB=α，其他條件不變，求∠MON的度數;

(3)若∠AOC=β(β為銳角)，其他條件不變，求∠MON的度數;

(4)從上面的結果中可以看出什麼規律？

【分析】由于∠AOB，∠AOC的角度已知，則∠BOC的角度可出，而OM平分∠BOC，所以∠MOC的角度可出，又ON平分∠AOC，所以∠NOC的角度可出，則∠MON=∠MOC一∠NOC，可求得結果.

解:(1)因為∠AOB=90°，∠AOC=30°，所以∠BOC=120°，因為OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，所以∠MOC=60°，∠NOC=15°，所以∠MON=∠MOC一∠NOC=45°.

(2)因為∠AOB=α，∠AOC=30°，所以∠BOC=α 30°，因為OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，所以∠MOC=α/2 15°，∠NOC=15°，所以∠MON=∠MOC一∠NOC=α/2.

(3)因為∠AOB=90°，∠AOC=β，所以∠BOC=90° β，因為OM平分∠BOC，ON平分∠AOC。所以∠MOC=45° β/2，∠NOC=β/2，所以∠MON=∠MOC一∠NOC=45°.

(4)從上面的結果中，發現∠MON的大小隻與∠AOB的大小有關，與∠AOC的大小無關.

五.與角平分線有關的分類讨論問題

8.已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度數.

【分析】給出兩個角，它們的OB邊重合，但OC邊在什麼位置？不明确，所以分OC落在∠AOB内，外兩種情況解答.

解:①當OC落在∠AOB内部時，如圖，

∵OM平分∠AOB，∴∠BOM=1/2∠AOB=100°×1/2=50°，∵ON平分∠BOC，∴∠BON=1/2∠BOC=60°×1/2=30°，∴∠MON=∠BOM一∠BON=50°一30°=20°.

②當OC落在∠AOB的外部時，如圖，

∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，∴∠BOM=1/2∠AOB=100°×1/2=50°，∠BON=1/2∠BOC=60°×1/2=30°，∴∠MON=∠BOM ∠BON=50° 30°=80°.綜上所述，∠MON的度數為20°或80°.

9.已知∠BOC在∠AOB的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠AOE=30°，∠BOD=20°，求∠COF的度數.

【分析】條件給出∠BOC在∠AOB的外部，但兩個角的大小又不确定，可能導緻不同的結果，所以分∠BOC大于∠AOB，與∠BOC小于∠AOB兩種情況讨論.

解:①當∠BOC小于∠AOB時，如圖

由題意知∠BOE=∠AOE=30°，∠BOD=20°，∴∠DOE=10°，∴∠AOD=40°，又∠COD=∠AOD=40°，∠BOD=20°，∴∠BOC=20°，∴∠COF=1/2∠BOC=20°×1/2=10°.

②當∠BOC大于∠AOB時，如圖，

由題意知∠BOE=∠AOE=30°，∠BOD=20°，所以∠AOD=80°，又∠COD=∠AOD=80°，∠BOD=20°，所以∠BOC=100°，∴∠COF=1/2∠BOC=100°×1/2=50°.

綜上所述，∠COF=10°或50°.

【總結】有關角的運算的題目一般不太難，但同學們要認真寫好每題的步驟，為以後幾何的學習打下紮實的基礎.

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