本文從信号處理應用的角度讨論了三種統計性描述方法。

在上一篇有關電氣工程師的統計性描述的文章中，我們看到均值和中位數都可以傳達數據集的集中趨勢。盡管中位數對異常值的敏感度較低，但在電子和數字信号處理中更經常使用均值。實際上，算術平均值是電氣工程中必不可少的統計技術。

但是，我們通常不僅僅需要一種手段來充分描述或理解數據集。

當我們僅報告中心趨勢時，我們沒有考慮數據的重要方面，即值偏離中心趨勢的方式。

偏離均值

假設我們已經數字化了兩個模拟輸入信号。如果我們将數字代碼轉換回伏特單位并繪制離散時間波形，則它們看起來像這樣：

我們可以通過查看曲線圖來很好地猜測均值：藍色信号的中心趨勢是1.2 V，紅色信号的中心趨勢是0.8V。但是，如果我們僅報告均值，我們将給人的印象是，這兩個信号之間唯一重要的差異是平均值的0.4 V差異（或者我們可以将其稱為DC電平或DC偏移）。顯然，這個故事還有更多。

電氣工程師會本能地将這些波形識别為穩定的DC信号（也許是電源電壓），其中包括相當多的噪聲。更重要的是，我們立即意識到，藍色信号比紅色信号噪聲大。如果僅考慮平均值，則将丢失噪聲性能的主要差異。順便說一下，為什麼我們會在這些信号中感知到噪聲？因為各個值明顯偏離平均值，他們這樣做的方式似乎是随機的，并且相對于平均值，偏差很小。

當統計學家看到均值小的随機偏差時，電氣工程師會看到噪聲。

平均偏差

這些信号有多吵？有點吵？非常吵鬧？讓我們嘗試為該問題提供更精确的答案。換句話說，我們需要量化這些數據集中的偏差。

量化偏差時，我的第一個直覺是找到每個數據點與平均值之間的距離，然後計算所有這些距離的平均值。這将為您提供平均偏差（也稱為平均絕對偏差），即，值偏離中心趨勢的典型量。這是數學語言中的平均偏差：

其中N是數據集中值的數量，μ是平均值，x [k]是表示為離散時間變量k的函數的信号。

在該曲線圖中，水平線表示電壓水平，該電壓水平是平均值之上和之下的一個平均偏差。

盡管平均偏差是直觀的，但它并不是量化信号偏離均值趨勢的最常用方法。為此，我們需要标準偏差。

方差和标準偏差

在電氣工程中，平均偏差的問題在于我們正在平均電壓（或電流）差，因此我們在幅度範圍内進行操作。噪聲現象的本質是，在分析噪聲時，我們強調幅度上的功率，因此，我們需要一種在功率範圍内運行的統計技術。

幸運的是，這很容易實現。功率與電壓或電流的平方成正比，因此，我們要做的就是在求和和求平均值之前将差項平方。這個過程導緻稱為統計度量方差，由σ2表示（發音為“西格馬平方”）：

我們可以将方差描述為表示為功率的信号随機偏差的平均功率。這意味着方差與我們開始使用的值沒有相同的單位。如果我們正在分析電壓信号的波動，則方差的單位為σ2而不是σ。

如果要表達信号使用原始單位随機偏離的趨勢，則必須通過将平方根應用于最終值來補償平方差：

該過程生成稱為标準偏差的統計量度，即，信号随機偏差的平均功率表示為幅度。因此，如果我們正在分析電壓信号，則盡管我們使用電壓偏差的平方來計算标準偏差，但标準偏差的單位為σ。

在該圖中，水平線表示電壓水平，該電壓水平是平均值之上和之下的一個标準偏差。

方差和标準偏差以不同的方式表示相同的信息。盡管據我所知，方差在某些分析情況下更為方便，但通常最好選擇标準差，因為它可以直接解釋為衡量信号偏離均值趨勢的度量。

結論

标準差和方差是在科學和社會科學中經常出現的基本統計技術。我希望本文能幫助您理解這些概念與電信号之間的基本聯系，并且在下一篇文章中，我們将介紹一些與标準偏差有關的有趣細節。

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