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一個長方形分成兩個三角形求面積

教育更新时间:2024-09-30 10:49:03

一道高中題-求等邊三角形内嵌的長方形最大的面積

一個等邊三角形的邊長為L，求其内部相接的長方形的面積的最大值。

一個長方形分成兩個三角形求面積（一道高中題-求等邊三角形内嵌的長方形最大的面積）1

解：如圖設長方形的長為2x，寬為y, 令長邊平行于底邊，

一個長方形分成兩個三角形求面積（一道高中題-求等邊三角形内嵌的長方形最大的面積）2

現在的目标是要求出x和y的關系式，我們利用AM/MN=AP/PC 這個等式求解。

由于AN是等邊三角形的高， AN=(√3L)/2

所以AM=√3x

另外PC=y/(√3/2)=(2√3y)/3

AP=2x,

MN=√3L/2-√3x

帶入AM/MN=AP/PC

一個長方形分成兩個三角形求面積（一道高中題-求等邊三角形内嵌的長方形最大的面積）3

由此推出：

X=L/2-y/√3

帶入長方形面積S=2xy中，

一個長方形分成兩個三角形求面積（一道高中題-求等邊三角形内嵌的長方形最大的面積）4

若配方比較麻煩，所以用求導數的方法比較快捷，

S’=-4y/√3 L=0

由此求出y=√3L/4

帶入X=L/2-y/√3

得出x=L/4,

最後得出長方形的面積

一個長方形分成兩個三角形求面積（一道高中題-求等邊三角形内嵌的長方形最大的面積）5

這道題實際上初中數學是可以求解的，隻是在上面的面積表達式中需要配方，方法是提出y的二次方的系數，然後配成完全平方的形式假設一個常數項，常數項的值就是最大值。這裡省略了具體計算。

到了高中，導數計算求極值比較快捷。

最後可以得出結論取得最大面積。

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