一、二次根式的乘法法則

1.兩個二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變.

2.公式推廣：

題型一 根據積的算術平方根的限制條件，确定字母的取值範圍.

例1.如果成立√x×（x-6）=√x×√x-6，那麼 (　　)

A.x≥6　　　 B.0≤x≤6 C.x≥0　　　 D.x為任意實數

二、積的算術平方根的性質

1.兩個非負數的積的算術平方根等于這兩個非負數的算術平方根的積.

2.

3.公式推廣：

溫馨提示：積的算術平方根的性質中的乘積中的每個因式可以是數,也可以是代數式,但不管怎樣都必須滿足因數(或因式)都是非負數

易錯點一 忽略二次根式乘法法則使用的條件緻錯.

例2.計算√（-9）×（-25）.

正解√（-9）×（-25）=√(9×25)=√9×√25=3×5=15.

錯解警示　出錯的原因是忽略了二次根式乘法法則成立的條件.等式成立的條件是a≥0,b≥0,而是√（-9）、√（-25）兩個沒有意義的式子,利用等式時,必須保證在a≥0,b≥0的條件下進行.

易錯點二 把根号外的因式移到根号内時忽略符号緻錯

例3.

三、二次根式的除法法則

1.兩個二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變.

2.公式

3.推廣：

四、商的算術平方根

1.商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根.

2.數學語言：

五、最簡二次根式

1.條件：(1)被開方數不含分母；

(2)被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.

2.化簡的一般方法：（1）将被開方數中能開得盡方的因數或因式進行開方.

（2）化去根号下的分母：①若被開方數中含有帶分數,應先将帶分數化成假分數；②若被開方數中含有小數,應先将小數化成分數.

（3）被開方數是多項式時要先進行因式分解.

例4.下列二次根式中,為最簡二次根式的是(　　)

A.√8 　　　B. √1/3 C.√2 D.√0.25 

六、次根式的加減

1.二次根式加減時,可以先将二次根式化成最簡二次根式,再将被開方數相同的二次根式進行合并.

2.一般步驟：(1)化成最簡二次根式；

(2)找出被開方數相同的二次根式；

(3)合并被開方數相同的二次根式——将系數相加減仍作為系數,根指數與被開方數保持不變.

3.識别方法：⑴将二次根式化簡為最簡二次根式;

⑵觀察被開方數,相同的就是能合并的二次根式.

七、二次根式的混合運算

1.概念：二次根式的混合運算是指二次根式的加、減、乘、除、乘方的混合運算.

2.運算順序：二次根式的混合運算順序與實數的混合運算順序一樣,先乘方,再乘除,最後加減,有括号的先算括号裡的(或先去掉括号).

學以緻用

二次根式與乘法公式的應用

例5.計算:

能力提升

1.如果√2=a,√3=b,用含有a、b的式子表示,下列表示正确的是 (　　)

A.0.1ab²　　　　B.0.1a³b　　 C.0.2ab²　 D.2ab

2.如圖，一隻電子螞蟻在數軸上爬行,爬到表示(√5/5)×(-5)的點處,則該點可能是下列點中的 (　　)

A.點E　　　　　 B.點F　　　　　 C.點P　　　　　 D.點Q

3.星期天,曉琪的媽媽和張琪做了一個小遊戲,曉琪的媽媽說:“你現在學習了二次根式,若x表示√10的整數部分,y表示它的小數部分,我這個錢包裡的錢(單位:元)是(√10 x)y的整數部分,你猜一下這個錢包裡的錢有多少?若猜對了,錢包裡的錢就由你支配.”請你幫曉琪獲得對這些錢的支配權.

4.

5.觀察下列式子:

A.110　　　　 B.164　 C.179　 D.181

6.

7.觀察下列等式:

按上述規律,回答以下問題:

(1)請寫出第n個等式:an=　　　　　　；

(2)a1 a2 a3 … an=　　　 .

8.

A.24　　　 B.±2√6  C.2√6  D.2√5 

9.是否存在正整數a、b(a<b),使其滿足√a √b=√1404?若存在,試求出a、b的值；若不存在,請說明理由.

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