成考專升本：二階常系數線性微分方程的考點！

　　若函數y₁,y₂為該方程兩個線性無關的解，即y₁≠ky₂，則該方程的通解為y=C₁y₁ C₂y₂.

　　考點2 二階常系數線性非齊次方程y” py' qy=f(z)解的結構

　　若y*為方程y” py' qy=f(x)的一個特解，ӯ=C₁y₁ C₂y₂為與其對應的齊次方程y” py' qy=0的通解，則y* y為方程y” py' qy=f(x)的通解.

　　若y₁是方程y” py' qy=f1(x)的解，y₂是方程y” py' qy=f₂(x)的解，則y₁十y₂是方程y” py' qy=f₁(x) f₂(x)的解.

　　考點3 二階常系數線性齊次方程y” py' qy=0通解的求法

　　先寫出與其對應的特征方程r² pr q=0.

　　1.若特征方程有兩個不等實根r₁,r₂，則齊次方程的通解為ӯ=C₁eʳ1ˣ” C₂er₂x.

　　2.若特征方程有一重根r，則齊次方程的通解為ӯ=(C₁x C₂)eʳˣ.

　　3.若特征方程無實根，或者說有一對共轭複根r₁=α iβ，r₂=α-iβ，則齊次方程的通解為ӯ=eᵃˣ(C₁cosβx C₂sinβx) .

　　考點4 二階常系數線性非齊次方程y” py' qy=f(x)通解的求法

　　1.先求出與其對應的齊次方程y” py' qy=0的通解y.

　　2.再求出非齊次方程的特解y*，則該方程的通解為y=ӯ y*.

　　3.特解y*的求法

　　(1) 若f(x) =Pn(x) eᵃˣ， 則方程的特解可設為y*=xӯᴷQn(x) eᵃˣ，其中Qn(x)與Pn(x)是同次多項式，系數待定，且

　　k=0,α不是特征根，

　　k=1,α為單獨特征根，

　　k=2,α為二重特征根.

　　(2) 若f(x)=eᵃˣ(Acosβx Bsinβx)，則方程的特解可設為y*=xᴷeᵃˣ(A₁cosβx B₁sinβx)。其中A₁，B₁為待定系數，且

　　k=0,a iβ不是特征根，

　　k=1,a iβ是特征根.

　　解題指導

　　二階常系數線性微分方程的求解方法：

　　第一步：首先判斷方程類型是否為二階常系數線性微分方程.

　　第二步：若是，看是齊次，還是非齊次.

　　1.若是齊次的，應先寫出特征方程：r² pr q=0，然後求特征根，由特征根構造方程的通解.

　　2.若是非齊次的，應先求出其對應的齊次方程的通解，然後構造非齊次方程的特解，最後由解的結構得到原非齊次方程的通解.

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