【分析方法導引】

在有關圓的問題中，如果不考慮有關線段之間的數量關系時，就應想到要應用與圓有關的角的基本圖形進行證明。

當幾何問題中出現了同一個圓上的四點時，就可以想到應用圓周角的基本圖形進行證明。接下來就應分析問題中出現的所要研究和讨論的角是出現在圓内接四邊形的内角或外角上，還是出現在同弧所對的圓周角上。若出現在圓内接四邊形的内角或外角上，則添圓内接四邊形的邊而不必連對角線，然後應用對角的互補關系或外角與内對角的等量關系來完成證明。若出現在同弧所對的圓周角上，則添加兩條對角線而不必添一組對邊，然後應用同弧所對圓周角的等量關系完成分析。

當幾何問題中出現了圓的直徑和半圓上的一點或者出現了90°的圓周角時，就可想到要應用半圓上的圓周角的基本圖形進行分析。如有直徑和半圓上的點而沒有圓周角時，應将半圓上的點與直徑的兩端點分别連接；如有90°的圓周角而沒有直徑時，應聯結圓周角的兩邊與圓的交點，而這條連線必定過圓心，也就必定是圓的直徑。接下來就可以應用直角三角形的性質完成分析。

當幾何問題中出現了相交圓的問題時，就應想到要将問題轉化到一個圓中的問題來進行分析和讨論，轉化的方法是添加公共弦。接下來就可以分别在每一個圓中應用圓周角的基本圖形的性質來完成分析。

例 5 如圖4-9，已知：I是△ABC的内心，過I、B、C三點作⊙O。求證：A、B、O、C四點共圓。

分析：A、B、O、C四點共圓的證明，是一個圓内接四邊形的判定問題，所以可應用圓周角的基本圖形或者也就是圓内接四邊形的性質進行證明。但已知圖形中這個圓内接四邊形尚不完整，所以應先将它添全，于是應聯結OB、OC和OA（如圖4-10）。但在聯結OA時，可以發現現在有一個A、I、O三點共線的問題，所以可先聯結OI，然後證明A、I、O成一直線，也就是要證明∠OIB ∠AIB=180°，進一步也就是要證∠OIB=∠ABI ∠BAI=1/2∠ABC 1/2∠BAC。但已知OI=OB，這是兩條具有公共端點A的相等線段，它們可組成一個等腰三角形，所以∠OIB=∠OBI=∠IBC ∠OBC=1/2∠B ∠α，從而隻要證∠α=1/2∠BAC。由條件OI=OB=OC，△OIB、△OIC都是等腰三角形，于是∠BOI 2(∠α 1/2∠ABC)=180°,∠COI 2(∠α 1/2∠ACB)=180°，從而4∠α ∠ABC ∠ACB ∠BOI ∠COI=360°。但在△OBC中，有∠BOI ∠COI 2∠α=180°。所以∠ABC ∠ACB 2∠α=180°，于是2∠α=∠BAC，即∠α=1/2∠BAC，于是A、I、O共線，這樣再進一步也就證明了A、B、O、C四點共圓。

例 6 如圖4-11，已知：四邊形ABCD内接于⊙O，過A作BD的垂線，垂足是E且交DC的延長線于G，過D作AC的垂線，垂足是F且交AB的延長線于H。求證：HG∥BC。

分析：本題要證的結論HG∥BC是兩條平行線的判定問題，由于這兩條要證明的平行線可以看作是被GD所截，所以問題就是要證∠DCB=∠DGH。

由條件中出現四邊形ABCD内接于⊙O，所以就可應用圓内接四邊形或者也就是圓周角的基本圖形的性質進行證明，于是就有∠DCB ∠DAB=180°，從而題就轉化成要證∠DGH ∠DAH=180°，也就進一步成為要證A、H、G、D四點共圓。

現在要證明A、H、G、D四點共圓，這又是一個圓内接四邊形的判定問題，所以問題又可轉化為證∠HAG=∠HDG，又因為條件中還給出AE⊥BD，DF⊥AC，所以∠HAG和∠HDG又分别是∠ABD和∠ACD的餘角，于是要證明∠HAG=∠HDG，又可轉化或證∠ABD=∠ACD，但這兩個角也是同一條弧，即弧AD所對的圓周角，所以由條件A、B、C、D四點共圓就可以證明這一性質（如圖4-12）。

如果在證明A、H、G、D四點共圓時，考慮轉化為證∠AHD=∠AGD，那麼這時由于∠AHD和∠AGD分别是∠BAC和∠BDC的餘角，所以問題就是要證∠BAC=∠BDC，這樣由A、B、C、D四點共圓，應用圓周角的基本圖形性質也可完成分析。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!