數學培優——數軸上的動點問題

數軸上的動點問題是以數軸為背景，考查數軸知識運用的一類常見題型.解答這類問題時要注意數形結合思想、方程思想、分類讨論思想以及數軸上兩點間距離公式的運用.

數軸上兩點間的距離：數軸上兩點A，B所表示的數a，b的差的絕對值叫做這兩點間的距離，記作AB=|a-b|.

例1 已知點P是數軸上一個動點，它從點A出發，先向左移動3個單位到達點B，然後從點B 移動8個單位落在原點O.則點A表示的數是___________.

解析：設點A表示的數是a，因為點A向左移動3個單位到達點B，所以點B表示的數是a-3.

由題意，點B到原點O的距離是8，

即OB=8，

所以|a-3|=8，

所以a=11或-5.

例2 已知數軸上一隻電子跳蚤第一次從原點O向右跳1個單位長度落在點A1，第二次從點A1向左跳2個單位長度落在點A2，第三次從點A2向右跳3個單位長度落在點A3，第四次從點A3向左跳4個單位長度落在點A4，…，如此繼續下去，第2021次從點A2020向左跳2021個單位長度落在點A2021，則點A2021表示的數是______.

解析：依題意，得：

A1表示的數是1，

A2表示的數是1-2，

A3表示的數是1-2 3，

A4表示的數是1-2 3-4，

…，

A2021表示的數是：

1-2 3-4 … 2019-2020 2021

=(-1)×1010 2021=1011.

所以點A2021表示的數是2011.

例3 如圖，已知數軸上有A，B，C三點，分别表示數－16，－8，10.現有甲、乙兩隻電子螞蟻分别從A、C兩點同時出發，相向爬行x秒，甲的速度為2個單位/秒.

（1）當x=5時，設甲爬行到點D，則D，B之間的距離DB=______；

（2）如果甲與乙恰好在點B相遇，求乙的速度；

（3）如果甲到A，B，C的距離之和為30個單位，求x的值；

解析：（1）依題意，得點D表示的數是

-16 5×2=-6，

所以DB=-6-(-8)=2；

（2）當甲從點A爬行到點B時，

（3）因為AB=-8-(-16)=8，

所以x=8÷2=4，

當x=4時，乙從點C爬行到點B，

因為BC=10-(-8)=18，18÷4=4.5，

所以乙的速度是4.5個單位/秒；

（3）設甲爬行到點P時，

甲到A，B，C三點的距離之和為30，

則AP=2x，點P表示的數是2x-16.

①如果點P在A，B之間，

則PA PB=AB=8，

由PA PB PC=30，

得PC=30-8=22，

又PC=10-(2x-16)=26-2x，

所以26-2x=22，x=2；

②如果點P在B，C之間，

則PB PC=BC=18，

由PA PB PC=30，得

PA=30-18=12，

又PA=2x，

所以2x=12，x=6；

綜上，x的值等于2或6.

例4 如圖，數軸A，B兩點表示的數分别是-30和20，甲電子螞蟻從點A出發，以每秒3個單位向右爬行2秒後，乙電子螞蟻從點B出發向左爬行.

（1）如果甲、乙兩隻螞蟻恰好在AB的中點相遇，求乙的速度；

（2）在（1）的條件下，求乙出發幾秒後兩隻螞蟻相距14個單位.

解析：（1）設AB的中點為C，

因為AB=18-(-30)=48，

所以AC=24，

所以甲從A爬行到C需要的時間為

24÷3=8(秒），

所以乙從B爬行到C所用的時間為

8-2=6(秒），

24÷6=4，

所以乙的速度為4個單位/秒；

（2）設乙出發x秒後甲爬行到點D，乙爬行到點E.則

點D表示的數是

-30 3(x 2)=3x-24，

點E表示的數18-4x.

①如果在相遇前相距14個單位，則

由DE=14，得

(18-4x)-(3x-24)=14，

即18-4x-3x 24=14，

整理，得-7x=-28，x=4；

②如果在相遇後相距14個單位，則

由DE=14，得

(3x-24)-(18-4x)=14，

即3x-24-18 4x=14，

整理，得7x=56，x=8.

所以乙出發4秒或8秒後兩隻螞蟻相距14個單位.

例5 已知數軸上A，B兩點表示的數分别是-5和10，點P為數軸上一個動點，其表示的數是x.

（1）如果點P到點A，B的距離之和為17，求x的值；

（2）如果點P以每分鐘6個單位的速度從原點O出發向右移動，點Q以每分鐘5個單位得速度從點A出發向右移動，點R以每分鐘2個單位的速度從點B出發向右移動，設P，Q，R同時出發，問幾分鐘後PQ=PR？

解析：（1）當P在A，B之間時，

PA PB=AB=10-(-5)=15<17，

所以P不可能在A，B之間；

當P在點A的左邊時，

PA=-5-x，PB=10-x，

由PA PB=17，得

(-5-x) (10-x)=17，解得x=-6；

當P在點B的右邊時，

PA=x-(-5)=x 5，PB=x-10，

由PA PB=17，得

(x 5) (x-10)=17，解得x=11；

所以x的值等于-6或11；

（2）設出發y分鐘後PQ=PR.此時

P表示的數是6y，

點Q表示的數是-5 5y，

點R表示的數是10 2y.

①當點Q追上點R時，

Q，R重合，此時PQ=PR，

由Q，R重合，得

-5 5y=10 2y，解得y=5；

②當點Q為追上點R時，

PQ=6y-(-5 5y)=5 y，

PR=(10 2y)-6y=10-4y,

由PQ=PR，得

5 y=10-4y，y=1.

所以出發1分鐘或5分鐘後，PQ=PR.

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