歐洲的代數學，是在卡爾達諾和塔爾塔裡亞之間那場著名的論戰之後，才有了真正的起步。要弄清這場震動數學界的論戰的來龍去脈，我們還得分别講起。

話說16世紀的最初幾年，在意大利最古老的波倫亞大學，有一位叫費洛(Ferlo，1465—1526)的數學教授，他潛心于研究當時的世界難題———一元三次方程的公式解。

大家知道，盡管在古代的巴比倫和古代的中國，都已掌握了某些一元二次方程的解法，但一元二次方程的公式解，卻是由中亞數學家阿爾·花拉子米(Al-Khowarizmi，約783—約850)在825年給出的。花拉子米是把方程改寫為

的形式，從而得出方程的兩個根

阿爾·花拉子米(Al-Khowarizmi）

花拉子米之後，許多數學家曾為探求三次方程解法的奧秘進行過不懈的努力。但在700年的時間長河中，除了取得個别方程的特解之外，沒有人能獲得實質性進展。在嚴峻的現實面前，有些人卻步了，他們懷疑這樣的公式解根本不存在。然而費洛卻不以為然，依舊執着地追求着。蒼天不負有心人，他終于在不惑之年，取得了重大突破。

1505年，費洛宣布，他本人找到了形如的三次方程的一個特别情形的解法。在那個時代，為了能在當時頗為流行的數學競賽上一放光輝，數學家們都力圖保持着自己發現的秘密，所以費洛當時沒有公開發表自己的成果是不足為怪的。但是費洛終于沒能找到一個得以顯露自己才華的機會而抱恨逝去，以至于人們至今還無法完全解開費洛解法之謎。然而，人們似乎确切地知道，費洛曾把自己的方法傳授給一個得意門生，威尼斯的佛羅雷都斯。

現在話題轉到另外一邊。意大利北部的布裡西亞，有一個頗有小名氣的青年人叫尼克羅·塔爾塔裡亞。他原名方塔那，幼年喪父，家境貧寒，還受過九死一生的磨難。傷痛、恐懼和驚吓，留給他一個口齒不靈的毛病。後來他幹脆改名為“塔爾塔裡亞”，即意大利語“結巴”。

尼克羅·塔爾塔裡亞

小塔爾塔裡亞天資聰慧，勤奮好學。他研究物理，鑽研數學，很快顯露出超人的才華。尤其是他發表的一些論文，思路奇特，見地高遠，表現了其相當深的數學造詣，從而一時間聞名遐迩。

塔爾塔裡亞的自學成才，受到了當時科班出身的一些人的輕視和妒忌。

1530年，布裡西亞的一位數學教師科拉，向塔爾塔裡亞提出了兩個挑戰性問題，想以此難倒對方。這兩個問題是：

(1)求1個數，其立方加上平方的3倍等于5。

(2)求3個數，其中第2個數比第1個數大2，第3個數又比第2個數大2，它們的積為1000。

這實際是兩道求三次方程實根的題，如果設題中的第1個數為x，則第1道題的方程是，第2道題的方程是。塔爾塔裡亞求出了這兩個方程的實根，從而赢得了這場挑戰，并為此名聲大震。

消息傳到波利亞大學。費洛的學生佛羅雷都斯聽到，在布裡西亞居然也有人會解三次方程，心中感到有點不是滋味。他原以為自己得名師單傳，此生此世該是獨一無二的，不料半路殺出一個“程咬金”，而且還是一個不登大雅之堂的小人物，怎能使人信服? 于是他們幾經協商，終于決定于1535年2月22日，在意大利第二大城米蘭，公開舉行數學競賽。雙方各出30道題，在2小時之内決定勝負。

賽期漸近，塔爾塔裡亞因自己是自學出山而感到有些緊張。他想，“佛羅雷都斯是費洛的弟子，說不準他會拿解三次方程來為難自己，那麼自己要怎樣去對付呢?”他又想，“自己已經掌握的一類解法跟費洛的解法相差多遠呢?”他苦苦思索着，腦海中的思路不斷進行着各種新的組合，這些新的組合終于撞擊出靈感的火花。

在臨賽前8天，塔爾塔裡亞終于找到了進一步解三次方程的辦法。為此他欣喜若狂，并充分利用剩下的8天時間，一面熟悉自己的新方法，一面精心構造了30道隻有運用新方法才能解出的問題。

1535年2 月 22 日，米蘭的哥特式大理石教堂内，人頭攢動，熱鬧非凡，大家翹首等待着競賽的到來。比賽開始了，雙方所出的30道題都是令人眩目的三次方程問題。但見塔爾塔裡亞從容不迫，運筆如飛，在不到2小時的時間内，解完了佛羅雷都斯的全部問題。與此同時，佛羅雷都斯提筆拈紙，望題興歎，以 0∶30 敗下陣來！

消息傳出，數學界為之震動。在米蘭市有一個人坐不住了，他就是當時馳名歐洲的醫生卡爾達諾。卡爾達諾不僅醫術頗高，而且精于數學，曾發表過不少數學論文，并精心研究過三次方程問題，但無所獲。所以當他聽到塔爾塔裡亞已經掌握三次方程的解法時，滿心希望能分享這一成果。

卡爾達諾

然而當時的塔爾塔裡亞已經譽滿歐洲，所以并不打算把自己的成果立即發表，而是醉心于完成《幾何原本》的巨型譯作。對衆多的求教者，他一概拒之門外。當過醫生的卡爾達諾，熟谙心理學的要領，以勤奮、刻苦、真誠打動塔爾塔裡亞，使他似乎見到了自己幼年的影子，從而成了唯一的例外。1539年，在卡爾達諾的再三懇求下，塔爾塔裡亞終于同意把自己的秘訣傳授給他，但有一個條件，就是要嚴守秘密。

然而，卡爾達諾并沒有遵守這一諾言。1545年，他用自己的名字發表了《大法》(ArsMagna，意即偉大的技藝)一書，書中介紹了不完全三次方程的解法，并寫道：

“大約30年前，波倫亞的費洛就發現了這一法則，并傳授給威尼斯的佛羅雷都斯，後者曾與塔爾塔裡亞進行過數學競賽。塔爾塔裡亞也發現了這一方法。在我的懇求下塔爾塔裡亞把方法告訴了我，但沒有給出證明。借助于此，我找到了若幹證法，因其十分困難，現将其叙述如下。”

以上，就是後來人們把三次方程的求根公式，稱作卡爾達諾公式的緣由。

卡爾達諾指出，對不完全三次方程

給出了它的解。

順便要說的是，從完全三次方程，到不完全三次方程，隻需施行一個變換y=x b/3a。這實際上隻有一步之遙。

《大法》發表第二年，塔爾塔裡亞發表了《種種疑問及發明》一文，譴責卡爾達諾背信棄義，并要求在米蘭與卡爾達諾公開競賽，一決雌雄。

然而，到參賽那天，出陣的并非卡爾達諾本人，而是他的天才學生，一位從小當過仆人，因才華出衆而被卡爾達諾看中的青年人費拉裡(Ferrari，1522—1565)。此時的費拉裡風華正茂，思維敏捷，能言善辯。他不僅掌握了解三次方程的要領，而且已經發現了四次方程的極為巧妙的解法。結結巴巴的塔爾塔裡亞，哪是費拉裡的對手，自然是不堪一擊，狼狽敗返！

此後，塔爾塔裡亞雖然潛心于代數學的鴻篇巨制，但終因此番挫折，心神俱傷，于1557年溘然與世長辭，享年58歲。

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來源：《給孩子的數學故事書》

作者：張遠南 張昶

部分圖源于網絡

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