函數的極限知識點總結?函數的極限數列極限，是自變量限制在自然數内的特殊函數的極限現在取消自變量的這種限制，使其可以在整個函數定義域内取值且讨論其相關極限，這就是所謂的函數極限由于自變量的取值更為自由，将滋生出多種極限的形式先定義兩種函數極限，1）自變量趨于無窮大，2）自變量趨于有限值，現在小編就來說說關于函數的極限知識點總結?下面内容希望能幫助到你，我們來一起看看吧!

函數的極限知識點總結

函數的極限

數列極限，是自變量限制在自然數内的特殊函數的極限。現在取消自變量的這種限制，使其可以在整個函數定義域内取值且讨論其相關極限，這就是所謂的函數極限。由于自變量的取值更為自由，将滋生出多種極限的形式。先定義兩種函數極限，1）自變量趨于無窮大，2）自變量趨于有限值。

函數極限定義1

設 f(x) 是一個實函數，A是一個實常數。如果對于任意給定的ε>0，存在X，對于任何x，當|x|〉X時成立|f(x)-A|<ε，則稱函數 f(x) 當x趨于無窮大時收斂于A。記為

lim[x→∞] f(x) = A

此定義或表述為

lim[x→∞] f(x) = A ↔ ∀ε>0,∃X,∀x(|x|>X{|f(x)-A|<ε))

函數極限定義2

設 f(x) 是一個實函數，A和x0是兩個實常數。如果對于任意給定的ε>0，存在δ，對于任何x，當0<|x-x0|<δ時成立|f(x)-A|<ε，則稱函數 f(x) 當x趨于x0時收斂于A。記為

lim[x→x0] f(x) = A

同樣，此定義可表述為

lim[x→x0] f(x) = A ↔ ∀ε>0,∃δ,∀x(0<|x-x0|<δ{|f(x)-A|<ε))

這兩個定義分别是(ε,X)和(ε,δ)分析表述。

這裡需注意不等式0<|x-x0|<δ，這是個去掉x0的以x0為中心半徑為δ的開區間（或稱領域），稱為x0的δ去心領域，即(x0-δ,x δ)\{x0}。

此外，還需注意上述定義中x→∞是指雙向趨于正負無窮大，而x→x0是指左右兩側逼近x0。

為了區分正負無窮大和左右逼近x0，特别定義了單側極限如下

函數極限定義3

設 f(x) 是一個實函數，A是一個實常數。如果對于任意給定的ε>0，存在X，對于任何x，當x>X時成立|f(x)-A|<ε，則稱函數 f(x) 當x趨于正無窮大時收斂于A。記為

lim[x→∞ ] f(x) = A

或表述為

lim[x→∞ ] f(x) = A ↔ ∀ε>0,∃X,∀x>X{|f(x)-A|<ε)

設 f(x) 是一個實函數，A是一個實常數。如果對于任意給定的ε>0，存在X，對于任何x，當x<X時成立|f(x)-A|<ε，則稱函數 f(x) 當x趨于負無窮大時收斂于A。記為

lim[x→∞-] f(x) = A

或表述為

lim[x→∞-] f(x) = A ↔ ∀ε>0,∃X,∀x<X{|f(x)-A|<ε)

函數極限定義4

設 f(x) 是一個實函數，A和x0是兩個實常數。如果對于任意給定的ε>0，存在δ，對于任何x，當x0<x<x0 δ時成立|f(x)-A|<ε，則稱函數 f(x) 當x趨于x0 時收斂于A。記為

lim[x→x0 ] f(x) = A

或表述為

lim[x→x0 ] f(x) = A ↔ ∀ε>0,∃δ,∀x(x0<x<x0 δ{|f(x)-A|<ε))

設 f(x) 是一個實函數，A和x0是兩個實常數。如果對于任意給定的ε>0，存在δ，對于任何x，當x0-δ<x<x0時成立|f(x)-A|<ε，則稱函數 f(x) 當x趨于x0-時收斂于A。記為

lim[x→x0-] f(x) = A

或表述為

lim[x→x0-] f(x) = A ↔ ∀ε>0,∃δ,∀x(x0-δ<x<x0{|f(x)-A|<ε))

單側極限“x→∞ ”和“x→x0 ”稱為右極限，而“x→∞-”和“x→x0-”稱為左極限。單側極限在連續性分析中相當重要。

如果将上述定義中的不等式|f(x)-A|<ε改為|f(x)|>ε、f(x)>ε和 f(x)<ε，将得到拓廣的函數極限，即lim f(x) = ∞、lim f(x) = ∞ 和lim f(x) = ∞-。

現在建立數列和函數極限的關系，即海涅定理

函數極限lim[x→x0] f(x) = A存在的充分必要條件是：對于任何滿足lim[n→∞] x(n) = x0且x(n)≠x0的數列，相應的函數數列{f(x(n))}成立lim[n→∞] f(x(n)) = A。

證明：

先證必要性。由lim[x→x0] f(x) = A必有∀ε>0,∃δ,∀x(0<|x-x0|<δ{|f(x)-A|<ε))。而由lim[n→∞] x(n) = x0且x(n)≠x0必有∃N,∀n>N(0<|x(n)-x0|<δ)，則|f(x(n))-A|<ε。即lim[n→∞] f(x(n)) = A。

再證充分性。假設lim[x→x0] f(x) = A不成立，則必有∃ε>0,∀δ,∃x(0<|x-x0|<δ{|f(x)-A|>ε))。取δ1，存在x1屬于x0的δ1去心領域（即0<|x1-x0|<δ1），有|f(x1)-A|>ε。再取δ2=δ1/2，存在x2屬于x0的δ2去心領域（即0<|x2-x0|<δ2），有|f(x2)-A|>ε。類推取δn=δ1/2^(n-1)，存在xn屬于x0的δn去心領域（即0<|xn-x0|<δn），有|f(xn)-A|>ε。顯然，lim[x→x0] xn = x0，但lim[n→∞] f(x(n)) = A不成立，與條件矛盾。所以必然成立lim[x→x0] f(x) = A。證畢。

類似數列極限中的柯西收斂原理，函數極限中也有相似的收斂原理。

函數極限lim[x→∞] f(x)存在而且有限的充分必要條件是：∀ε>0,∃X,∀x1>X∧∀x2>X(|f(x1)-f(x2)|<ε)。

證明：

先證必要性。設lim[x→∞] f(x) = A，即∀ε>0,∃X,∀x>X(|f(x)-A|<ε/2)。具體設∀x1>X和∀x2>X，有|f(x1)-A|<ε/2和|f(x2)-A|<ε/2。于是有

|f(x1)-f(x2)|<|f(x1)-A| |f(x2)-A|<ε

即條件滿足。

再證充分性。任選趨于正無窮大的數列{x(n)}，即lim[n→∞] x(n) = ∞ 。由條件（∀ε>0,∃X,∀x1>X∧∀x2>X(|f(x1)-f(x2)|<ε)）可知，∃N,∀n>N∧∀m>N(x(n)>X∧x(m)>X)，則|f(x(n))-f(x(m))|<ε，即∀ε>0,∃N,∀n>N∧∀m>N(|f(x(n))-f(x(m))|<ε)。根據數列極限的柯西收斂原理，數列{f(x(n))}收斂。由于數列{x(n)}的任意性，由海涅定理可知lim[x→∞] f(x)存在且有限。

證畢。

關于函數極限lim[x→x0] f(x)也有類似的收斂原理，在此不詳述。

類似數列極限，函數極限也有一系列的性質和運算法則，簡列如下：

1）函數極限的唯一性

2）收斂函數的局部有界性

3）收斂函數的局部保序性

4）函數極限的夾逼性

5）函數極限的運算法則

a）lim (a f(x) b g(x)) = a lim f(x) b lim g(x)

b）lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x)

c) 如果lim g(x) ≠ 0，則lim (f(x)/g(x)) = lim f(x) / lim g(x)

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