01生活中的√2

我們都知道A4紙的尺寸是210*297mm，但這個數字是如何産生的呢？

在紙張設計者看來，1：1.414是最适合于标準化紙張型号的比例，以A0到A6這個區間來說，A0=841x1189mm面積正好是1平方米，不斷将長邊對折分割并且不會改變原來的比例關系（A4為折4次得到的紙張），而在這過程中竟不會造成任何的紙張浪費，有着極為強大的實用性。

不知道讀者注意到沒有，1.414恰好是根号2的近似值。

打印紙的長寬之比是√2，你造嗎？

√2是人類最早發現的無理數之一，從畢達哥拉斯學派的希伯索斯發現它到現在已經有2500多年的曆史了，這個幸運而又倒黴的小夥子後來被畢氏門徒抛入了大海，因為他的發現與畢氏學派的“萬物皆數”相抵觸。

公元前3世紀希臘幾何學家歐幾裡得在《幾何原本》中第一次給出了“√2是無理數”的完美證明。如果想更多的了解無理數的曆史與√2是無理數的證明方法可參考拙作《一位高中數學教師眼中“數的發展史”（二）》。

02向√2逼近的梯子

紙張的長寬之比近似于√2的這些整數是如何得到的呢？

古希臘的畢氏門徒曾經制造了一種梯子，但不是用來登高的，而是用來求無理數√2的近似值的，如下圖所示。他們煞費苦心構造向√2逼近的梯子，也許是因為根深蒂固的“比數情節”吧。總以為可以找到兩個自然數，使它們的比等于√2。

看到此圖我們不禁要問：

首先，梯子左右的兩列數是如何生成的？

其次，梯子的同一級上的兩數的比值為什麼可以向√2逼近？

02.1造梯子的規律

02.2生成數的猜想

我們知道√2的近似值是1.414，這個1.414是怎麼的來的呢？它和√2近似到什麼程度呢？√2到底是比1.414大，還是比它小呢？

也許我們可以從平方根表上查到的（一不小心暴露年齡了）。也許我們還可以在袖珍電子計算器或者計算機上算出來。但是，不管怎麼樣，總要有一個可靠的計算方法，才能造出平方根表，才能編出計算機裡的程序。

怎麼辦呢?

藝術家要把一塊大理石雕成栩栩如生的人像,不是一下子完成的,他要先砍去一些顯然是多餘的石頭,在這個基礎上按計劃刻成大體的“人模樣”,一次又一次的修整,琢磨,最後才能完成一件精美絕倫的藝術品。

羅馬大理石雕塑《索福克勒斯的半身像》,法爾

求√2的近似值,也是這樣辦的,先找一個粗略的近似值,這比較容易。比方說,1就是√2的粗略近似值。當然,我們不太滿意,因為誤差|√2—1|太大了。那我們就把1修正一下,比方說加上1/2，得到更好的近似值.再不滿意,就再修正一次,這樣一次比一次修改得更接近√2，直到清意。這種方法,則做逐次逼近法

在實際工作和理論研究中,絕大多數的數值計算問題,都是用逐次逼近法解決的。計算機是具體實現逐次逼近法的有力工具。

來,我們用逐次逼近法,向√2挺進吧！

首先，√2總是比1大的，比2小的，這就把√2的整數部分定下來了：

1<√2<2, 也就是 √2=1.…

為了确定√2的小數點後的第一位數字，我們可以把（1.1）^2，（1.2）^2，（1.3）^2，

（1.4）^2…相繼地算出來，算到（1.4）^2=1.96<2, (1.5)^2=2.25>2時，就不必要繼續算下去了，很明顯

1.4<√2<1.5,也就是 √2=1.4…

為了再向下求一位，又需要計算（1.41）^2，（1.42）^2，…等等。

這樣每算幾個數，便可以多知道√2的一位有效數字。進度不快，計算工作量卻越來越大。如何簡便運算呢？利用不等式的運算規律，可以大大加快計算速度。過程如下：

最終的結果告訴我們，有理數577/408比√2略大一點，誤差不超過十萬分之一，它是√2的相當好的近似值。用十進制小數表示577/408≈1.41421568…。

其實，√2與577/408之差比十萬分之一還要小。因為易知1.5>√2>1.4，故而

這說明√2與577/408之差比二十五萬分之一還要小。即誤差小于百萬分之4,或0.000004.

如果再繼續下去的話，我們就可以求出√2的12位有效數字，在平方一次，就達到20位以上的有效數字了。

但是用這種方法來計算，得到的有效數字不是一位一位的增加，而是成倍地增加。

用這種方法我們可以得到部分梯子中的數字，而得不到全部。如何能得到梯子中全部的自然數呢？讓我們從“√2是無理數”的圖形證法談起吧！（參考見拙文證法三）

如下圖：

在圖中的BC和BD之間進行輾轉相除為什麼永遠不能停止。把BD減去BC，剩下一段DE。以DE為邊做一個新的小正方形DEFG，那麼顯然DE=EF=FC（∵△EDF為等腰直角且△BEF≌△BCF）。接下來我們應該在BC和DE間輾轉相除。BC就等于CD，CD減去一個DE相當于減去一個FC，就隻剩下一段DF了。現在輪到DE和DF之間輾轉相除，而它們是一個新的正方形的邊和對角線，其比例正好與最初的BC和BD相當。于是，這個操作再次回到原問題，并且無限遞歸下去。最後的結論用我們的話說就是，不存在一個數x使得BC和BD的長度都是x的整倍數。于是，BD/BC不能表示為兩個整數之比p/q（否則BD/p=BC/q，這就成為了那個x）。

如果說這種幾何圖形的證法有點晦澀難懂的話，把它“翻譯”成代數證法就清楚多了：

代數解釋一

于是可得p>q>c>a>…,但是，正整數必有最小元的，由此得到矛盾。

代數解釋二

這種解釋不過是對上述代數解法的另一種重新表述，實質上沒有區别。

如圖，設ABCD是邊長為1的正方形，對角線AC=√2，我們用BC來量AC，在AC上截取CE=BC=1，

于是得 AC=BC AE,

即 √2=1 r1.(r1=AE<1).

第二步用AE來量BC=AB=1，即用r1來量1.注意到△ABC中BC=EC,故若過E作AC之垂線交AB于F,則FB=EF=AE=r1.在AF上截取AG=AE=r1,可見

1=2r1 r2.(r2=GF<r1).

但是，用AE來量AF，這恰巧又是用正方形的邊來量它的對角線！因而GF:AE=AE:1，

這是一個永遠不會結束的過程。

可以把上述過程改寫成下列形式：

如果把上述過程繼續下去的話，可以得到一個無窮無盡的式子

也可以不通過幾何途徑，用代數方法更簡捷地得到√2的連分數表示。

把√2表示成連分數有什麼好處呢？那就是可以得到√2的最佳近似分數。前面我們得到的一串分數3/2；7/5；17/12；41/29…都是√2的最佳近似分數。不信你可以試試看，能不能找到一個分數，它的分母不超過5，而且比7/5更接近√2？能不能找到一個分數，分母不超過12，它比17/12更接近√2？這個是可以證明的，請有興趣的朋友自己證證看吧！

從以上的分析我們可以看出，古希臘人得到這個逼近√2的梯子很有可能是通過上述的圖形證法的變形，至于真相究竟怎樣？估計是個千古都難解的迷吧！

03備受東方人鐘情的√2

西方人鐘情于1.618這個神奇的數字，中世紀數學家帕喬利将其命名為“神聖比例”；文藝複興時期天文學家、數學家開普勒稱它為數學中的“珍寶”；著名畫家達·芬奇稱其為“黃金分割”。

東方人則更加鐘情于√2這個數字，在宋代李誡和他編著的《營造法式》，全書第一張插圖“圓方方圓圖”就道盡了其中的奇妙所在。一個圓套方和一個方套圓，這代表着什麼含義呢？

宋，李誡《營造法式》全書第一幅插圖

“中國美學密碼”就是這個比例：1：√2，正方形的邊長和它外接圓的直徑，或者它對角線的比是1：√2。

宋《營造法式》中多次提到1與根号2的關系，法式卷二總例中有：“方一百其斜一百四十有一”與“圓徑内取方一百中得七十一”的規定。

在李誡之前，古代匠人就通過師徒相承、口耳相傳的方式流傳着“方五斜七”或者“方七斜十”的營造法則，雖不是特别精準，但卻是中國美學密碼√2的雛形。《營造法式·看詳》中，還專門談到了“用舊例以圍三徑一，方五斜七為據則疏略頗多”并進行了糾正，将原來的5：7更進一步精确到100:141，規範了建築設計和施工中的比例問題。

現代學者研究發現，唐宋遼金單檐木構建築在構圖設計上存在一定規律，建築的柱高和檐高、面寬、進深和柱高之間普遍存在一個1.414:1的比例關系。從這一時期起，中國人對于建築比例的把握, 早已深入到平面、立面、剖面乃至群體關系與庭院尺度的把握之中去了。

天津薊縣獨樂寺山門

天津薊縣獨樂寺山門

如今留存下來唐代建築主要以寺院和佛塔為主，以天津薊縣獨樂寺山門為例看1.414比例的應用。

當心間廣/檐柱高=610/433≈1.414

檐高/進深間寬=609/438≈1.414

當心間廣/進深間寬=610/438≈1.414

當心間間廣與檐柱高之比為1.414的情況還廣泛存在于山西太原晉祠獻殿、浙江甯波保國寺大殿等三開間建築中。

√2在古代還被應用在音律之中，書法等等之中，此處不再詳述。

曾侯乙編鐘的黃鐘律長9寸，蕤賓律長6.32寸，9/6.32≈1.414。

清，周儀《桃花源記》（小楷）其每個字高和寬之均約為1.414：1。

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