很少有一個數學公式會同時引起國内各路媒體的關注，更難成為英國議會辯論的主題。但是在 2003 年，我們在中學時期就學過的、考過的二次方程卻是一個例外。

這一切始于一次英國全國教師聯盟的會議上，數學上這個二次方程成為了衆矢之的，它被批判為數學家強行施加給無辜的、毫無戒備的學生們進行殘酷折磨的典型案例。

這個奇怪的指控促使二次方程成為了當時黃金時段的電台節目的讨論主題，數學家在節目中無奈接受咄咄逼人采訪者的質疑。甚至一貫嚴肅的英國泰晤士報甚至在頭條位置有文章指出，一元二次方程是毫無用處的、數學也是無用的，并且絕大多數人并不想學習數學，浪費寶愧的時間。

那數學教育将會走向何處？數學家真的是用一元二次方程折磨國家未來的小花朵、恐吓他們幼小心靈的邪惡怪物嗎？這些當然不是。在人類發展的曆史過程中，每每遇到難題時，通常就需要用到數學作為工具來解決問題，而二次方程的重要非比尋常。

一元二次方程，這個重要的數學概念對剛剛接觸它的人或許犯怵，但這并不是它的錯。事實上, 二次方程不僅在我們所知的人類文明的整體中發揮了關鍵的作用, 而且在可能探測到其他外星人的文明, 甚至像看衛星電視這樣重要的現代活動中都扮演着舉足輕重的作用。此外，除了聖經，還有什麼能夠被認為對生命有着如此重大的影響呢？簡單來說，在現實中，二次方程式影響到你的衣食住行，甚至可能拯救你的生命。

這一切都始于大約公元前三千年的巴比倫人，他們是世界上最早的文明之一，在很多領域，如農業、灌溉和寫作上取得了偉大成果。他們繪制出了太陽、月亮和行星運行的軌迹圖，并将它們記錄在粘土片上，這些成果我們仍然可以在大英博物館裡所見。巴比倫人賦予我們現代文明裡很重要的角度的概念。由于計算上的小錯誤，他們把一個圓周劃分成 360 份，每一份代表一年中的一天。同時，他們也建立了收稅制度，這也是巴比倫人需要解一元二次方程的重要原因之一。

▲ 巴比倫人記錄9倍乘法表的楔形文字闆的正面和背面

讓我們來假設你是一個普通的巴比倫農民，在所擁有農場某個地方有一塊正方形田地，可以在此種莊稼。那麼，你可以種多少莊稼呢？如果你将土地的邊長增大一倍，會發現可種植的莊稼量會變為原來的四倍，其原因是，可種植的莊稼量和土地面積是成比例的，也就是和邊長的平方成比例。用數學語言來說，假設 x 為土地的邊長，m 是你可以在這一塊正方形土地上單位面積可以種植的莊稼量，c 是你總共可種植的莊稼量，那麼可得公式如下：

這就是我們的第一個二次方程，樸素簡單，卻又熠熠生輝。二次方程和面積像家族中的兄弟姐妹一樣緊緊聯系在一起。但是，此時我們并不需要解決任何問題——直到每年頒布稅收法令的時刻來臨。稅務官來啦！他嚴肅宣言：“你必須給國王上繳 c 重量的莊稼以便來繳納你農場的稅收。”農民現在就陷在困境裡了：他需要開墾多大的土地來種植對應數量的莊稼呢？事實上，我們可以很容易就解出答案:

如何算出 x ，也就是求某個數的平方根？這樣的數學問題放在現在，即便是最簡單的計算器也是輕而易舉。但是對五千年前的巴比倫人來說卻是個大問題。不過他們找到了一種逐次逼近法來得到近似值，該方法與現代計算機用來解決比二次方程更難的問題的算法（稱為牛頓-拉夫遜方法，Newton-Raphson method）相同。

現在，我們延伸到更特殊情況，因為并非所有的土地都是四四方方的。假設這個農民有一塊形狀由兩個三角形組成稍微複雜點的土地（如上圖所示）。對特定的 a 與 b，農民在這塊地上可以種的莊稼量為下面等式：

這和我們平時常見的等式相差無幾了，但對當時的人并非易事。然而，聰明的巴比倫人又神通廣大地解出來了！首先我們在等式左右同時除以 a 并整理得到式子：

然後，用配方法化成左側為完全平方形式：

與上式結合，得到

現在這個等式就可以通過求平方根解決了。答案就是著名的求根公式：

整理之後即是：

但請注意，這個公式更常見的是 -4ac 而不是 4ac，因為一元二次方程通常為是這樣的形式 ax² bx c=0。

衆所周知，求平方根運算可以得到一個正數和一個負數，這也使得一元二次方程有兩個解。想想有多少數學問題隻有唯一解，你就會覺得一元二次方程有多神奇了！

我們現在得到的結論通常都是怎樣求解一元二次方程在實際教學中的重點内容了，這也是記者們采訪數學家時都關注的話題。僅僅從 a，b 和 c 的賦值就得到兩個答案這一點就可以提出無數個問題，但這并不是數學所關心的話題。得到一個标準公式僅僅隻是漫漫長路中的第一步。我們不由得提問，這個公式意味着什麼；它可以帶我們探索宇宙中的哪些奧妙；得到一個公式真的很重要嗎？現在讓我們來看看這個公式還将會帶給我們什麼。

現在讓我們穿越回到一千多年前的古希臘，看看他們對一元二次方程所做的研究。古希臘人是傑出的數學家，他們做出了很多我們現在都還在運用的數學結論。他們感興趣解決的方程之一就是(簡單的)一元二次方程：x²=2。

他們知道這個方程有解，即是一個直角邊長為 1 的等腰直角三角形的斜邊長。

這來源于畢達哥拉斯的定理：如果一個直角三角形的兩個直角邊分别為 a、b，則斜邊 c 的長度為 √(a² b²)。如果令 a=b=1，且 x=c，則 x²=2。因此，x=√2。

那麼，在這個例子裡 x 究竟等于多少？或者，那個古希臘人曾問過的問題——x 是個怎樣的數？古希臘人為什麼對這個問題這麼重視呢？原因在于他們慣有的對比例的敏感性。他們認為所有的數都能用整數之比來表達。确切來說，這意味着所有的數都是形式 a/b 的分數（a、b 均為整數），比如 1/2, 3/4 和 355/113。于是自然而然地，他們認為 √2 也是一個分數。然而，令他們十分震驚的是，事實并不是這樣。事實上，它等于下面結果：

這裡的“…” 意味着 √2 的小數點之後的數字有無限多個，并且不會循環。

√2 可能是第一個被發現的無理數(irrational number，也就是說，它不是分數或有理數)，其他的無理數例如 √3、π、e 以及絕大多數的數。而在當時的古希臘，√2 不是有理數這一發現同時引起了巨大恐慌，傳說發現者畢達哥拉斯學派的希帕索斯被同派投入大海淹死了。無理數的發現使得人們對數的認識更進一步，但直到十九世紀，數學家才找到比較系統的方法來研究這一類數字。

√2 完完全全不是一個晦澀難懂的數字，相反，生活中它的應用極其普遍，比如 A4 紙的長寬比。在歐洲，紙張均是用 A 系列的标準制作的，A0 是面積最大的，有 1m²。A 系列的紙張尺寸之間有很緊密的聯系。我們将一張 A1 紙沿着它較長的那條邊對折，就可以得到 A2 紙，再次對折，就可以得到 A3 紙，再次對折，就是 A4 紙。A 系列的紙都被設計成長寬比相同的紙，也就是說，每一種尺寸的紙張都有相同的形狀，可見下圖左圖所示(圖自維基)。

現在我們可以研究這個長寬比到底是多少。假設一張紙張 x、寬 y，現在将它均分為兩張長為 y、寬為 x/2 的紙（如上圖右圖所示）。

第一張的長寬比為 x/y，第二張顔色較深是 y/(x/2), 或 2y/x，使兩者相等，我們得到 x/y=2y/x。即是下面等式：

看吧，這便是又一個二次方程！幸運的是，它可以轉化為我們已經研究過的情況，我們可以解得 x/y=√2。

這個結果可以很容易得到驗證，找到任何一張 A4 紙（A3 或者 A5 紙亦可）測量它的長度與寬度就可。此外，我們還可以算出每張紙的面積。A0 紙張的面積 A 可由下面公式得出：

我們已知 A=1m²，所以我們立即可以得到這個二次方程(其中 x 是 A0 紙的長邊)：

因此我們可以得到，A2 紙的長邊為 x/2=59.46cm，請讀者自行思考原因。A4 紙的長邊為 x/4=29.7 cm，讀者可以在 A4 紙張上自行驗證上面的結果。(未完待續)

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