題目：

正▲DEF是正▲ABC的内接三角形，G 是DF的中點，延長BG交AC于H.證明：BG=GH

知識點回顧：

1. 等邊三角形是銳角三角形，等邊三角形的内角都相等，且均為60°。
2. 等邊三角形每條邊上的中線、高線和角平分線互相重合。（三線合一）
3. 等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，對稱軸是每條邊上的中線、高線 或角的平分線所在的直線。
4. 等邊三角形重心、内心、外心、垂心重合于一點，稱為等邊三角形的中心。（四心合一）
5. 等邊三角形内任意一點到三邊的距離之和為定值。（等于其高）
6. 等邊三角形擁有等腰三角形的一切性質。（因為等邊三角形是特殊的等腰三角形）

1. 三邊相等的三角形是等邊三角形（定義）。
2. 三個内角都相等的三角形是等邊三角形。
3. 有一個内角是60度的等腰三角形是等邊三角形。
4. 兩個内角為60度的三角形是等邊三角形。

1. 平行四邊形的兩組對邊分别相等
2. 平行四邊形的兩組對角分别相等
3. 平行四邊形的鄰角互補
4. 夾在兩條平行線間的平行四邊形的高相等。
5. 平行四邊形的對角線互相平分
6. 連接任意四邊形各邊的中點所得圖形是平行四邊形。（推論）
7. 平行四邊形的面積等于底和高的積。（可視為矩形。）
8. 過平行四邊形對角線交點的直線，将平行四邊形分成全等的兩部分圖形。
9. 平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是兩對角線的交點.

1. 兩組對邊分别平行的四邊形是平行四邊形（定義判定法）；
2. 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
3. 兩組對邊分别相等的四邊形是平行四邊形；
4. 兩組對角分别相等的四邊形是平行四邊形（兩組對邊平行判定）；
5. 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

粉絲解法1：

因為g是d f的中點。所以過g點作bd的平行線，交于bf于o點，所以o是b f的中點。同理過g點作h c的平行線交于i點，這樣所形成的三角形。go i為小等邊三角形。根據知條件三角形bd f。全等于三角形。af c。所以bd是等于fc。所以小等邊三角形的邊長正好是fc的一半。因為o是b f的中點。所以bo oi=fo-oi fc，所以i是bc的中點，這道題也就迎刃而解了。

粉絲解法2：

易證△BDF≌△CFE

得BD＝CF

取BF、BC中點M連接GM，則GM∥BD，＜GMC＝60°

GM＝1/2BD

過G點作GN∥CH，則

＜GNB＝60°，GN＝1/2CH，

∴△GMN為正△

∴△CFH為正△

FH＝FC＝BD，FH∥BD

連接DH、FH

則BDHF為平行四邊形

∴BG＝GH

粉絲解法3：

過D，G，F做AC邊垂線，可證G到AC距離等于D和F到AC距離和的一半，而D和F到AC距離和又為正三角形的高，即G的AC距離等于B到AC距離的一半，從而可證BG＝GH。

粉絲解法4：

過G點分别作AB與AC的平行線，分别與BC的交于點M和N，L是FC的中點，FL=LC,可以證明△GMN是正三角形，又因為GD=GF,可以得出MN=GM=1/2BD，BM=MF,因為可證得DB=FC,可以推得BN=CN,在△BHC中，BG=GH

粉絲解法5：

粉絲解法6：

S△AGB＝1／2S△AFB，S△CGB＝1／2S△CDB，又S△AFB＋S△CDB＝S△AFB＋S△AFC＝S△ABC，從而S△AGB＋S△CGB＝1／2S△ABC，從而可證S△AGC＝S△ABC－（S△AGB＋S△CGB）＝1／2S△ABC，從而BG：GH＝（S△AGB＋S△CGB）：S△AGC＝1：1。

粉絲解法7：

過G分别作AB，CD平行線分别交BC于M，N。易知△GMN為正三角形，GM＝MN＝1／2BD＝1／2CF，易知N為BC中點，可得G為BH中點。

粉絲解法8：

首先，根據對稱關系，很容易知道

BD＝FC，(根據△CEF≌△BFD也能知道)

以B為原點，BC為x軸建立平面直角坐标系，設C(2，0) A(1，√3)

lAC：y＝-√3(x－2)………………①

設|CF|＝|BD|＝a

則F(2-a，0) D( a/2，(√3a)/2 )

G( (4-a)/4，(√3a)/4 )

lBG：y＝[(√3a)/(4－a)] x………………②

①②聯立解得

xH＝(4－a)/2

因為B，G，H三點共線

xB＋xH＝2xG

所以，G是BH中點，BG＝GH得證

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!