題目:
正▲DEF是正▲ABC的内接三角形,G 是DF的中點,延長BG交AC于H.證明:BG=GH
知識點回顧:
等邊三角形性質定理粉絲解法1:
因為g是d f的中點。所以過g點作bd的平行線,交于bf于o點,所以o是b f的中點。同理過g點作h c的平行線交于i點,這樣所形成的三角形。go i為小等邊三角形。根據知條件三角形bd f。全等于三角形。af c。所以bd是等于fc。所以小等邊三角形的邊長正好是fc的一半。因為o是b f的中點。所以bo oi=fo-oi fc,所以i是bc的中點,這道題也就迎刃而解了。
粉絲解法2:
易證△BDF≌△CFE
得BD=CF
取BF、BC中點M連接GM,則GM∥BD,<GMC=60°
GM=1/2BD
過G點作GN∥CH,則
<GNB=60°,GN=1/2CH,
∴△GMN為正△
∴△CFH為正△
FH=FC=BD,FH∥BD
連接DH、FH
則BDHF為平行四邊形
∴BG=GH
粉絲解法3:
過D,G,F做AC邊垂線,可證G到AC距離等于D和F到AC距離和的一半,而D和F到AC距離和又為正三角形的高,即G的AC距離等于B到AC距離的一半,從而可證BG=GH。
粉絲解法4:
過G點分别作AB與AC的平行線,分别與BC的交于點M和N,L是FC的中點,FL=LC,可以證明△GMN是正三角形,又因為GD=GF,可以得出MN=GM=1/2BD,BM=MF,因為可證得DB=FC,可以推得BN=CN,在△BHC中,BG=GH
粉絲解法5:
粉絲解法6:
S△AGB=1/2S△AFB,S△CGB=1/2S△CDB,又S△AFB+S△CDB=S△AFB+S△AFC=S△ABC,從而S△AGB+S△CGB=1/2S△ABC,從而可證S△AGC=S△ABC-(S△AGB+S△CGB)=1/2S△ABC,從而BG:GH=(S△AGB+S△CGB):S△AGC=1:1。
粉絲解法7:
過G分别作AB,CD平行線分别交BC于M,N。易知△GMN為正三角形,GM=MN=1/2BD=1/2CF,易知N為BC中點,可得G為BH中點。
粉絲解法8:
首先,根據對稱關系,很容易知道
BD=FC,(根據△CEF≌△BFD也能知道)
以B為原點,BC為x軸建立平面直角坐标系,設C(2,0) A(1,√3)
lAC:y=-√3(x-2)………………①
設|CF|=|BD|=a
則F(2-a,0) D( a/2,(√3a)/2 )
G( (4-a)/4,(√3a)/4 )
lBG:y=[(√3a)/(4-a)] x………………②
①②聯立解得
xH=(4-a)/2
因為B,G,H三點共線
xB+xH=2xG
所以,G是BH中點,BG=GH得證
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