力學史上，圖解靜力學是一種完全依靠幾何作圖，不通過計算求解的力學分析方法。19世紀中後期，圖解靜力學還被作為正式的力學分支學科，廣泛應用于工程結構的力學分析中。20世紀以後，随着力學理論的不斷發展，許多力學框架不再适合用圖形的方式展現，圖解法也逐漸走向衰弱。近年來，随着計算機視覺呈現能力的發展，圖解法又出現了複興迹象，而且圖解法所具有的形象、直觀特性，對于力學初學者，在理解靜力學基本原理方面仍具有較強的吸引力。本文試圖通過回顧圖解靜力學的發展過程，以力合成與分解的圖解法為例，體會力學圖解法的魅力。

利用圖例求解力學問題，大概可追溯到阿基米德（Archimedes，約前287-前212年）。在《論平面圖形的平衡》中，阿基米德用代數加圖例的方式解釋杠杆原理的各種應用。如書中命題6，“可公度的兩個量，當其（距支點的）距離與兩量成反比例時，處于平衡狀态”。借助于圖1，該命題被轉化為證明：若A、B表示物體的重量，當滿足條件：A:B=DC:CE 時，把A放在E處，B放在D處，C為A、B的總體的重心。

圖1 阿基米德《論平面圖形的平衡》中的圖例

上述示例可認為是由重力組成的平行力系，對重心的讨論就是各重物所受重力的合成。顯然，阿基米德時期，力矢量的概念還沒有出現，重力隻能用重物來表示。

遺憾的是，在阿基米德之後很長時間，力學圖解法幾乎沒有任何發展。這可能與古希臘哲學家對工匠技術的偏見有關。由于圖形的形象直觀，工匠很樂意采用圖形來描繪各種作品。然而，古希臘哲學家認為工匠的工作隻是改變了物質的形态，本身并沒有任何創造，隻有哲學家依靠頭腦創造出世界上從來沒有過的知識才是創造。因此，大多數情況下，哲學家根本看不上工匠。而工匠也因生活所迫（工匠多為奴隸或社會底層人民），并沒有太多的時間和精力去思考科學問題。這就在進行知識創造的哲學家和從事工程實踐的工匠之間造成了隔閡，也在力學知識與圖例求解之間造成了隔閡。

直到文藝複興時期（阿基米德1700多年後），人們又在達芬奇 (Leonardo di ser Piero da Vinci, 1452-1519) 的手稿中，看到了利用圖例演繹的力學問題，如圖2所示，可以看到達芬奇用線段來表示力，這可能說明他已經在思考力矢量的圖形表達了。

圖2 達芬奇手稿中杠杆示例

在另一份草圖中，有一張類似于拱受力的杆系結構圖，如圖3所示，在杆件上面作用一垂直荷載Q，在畫出該受力圖後，達芬奇提出了一個問題：“在a及b處要加上怎樣的力才能使杆系保持平衡？”鐵木辛柯根據草圖中所畫的虛線平行四邊形，認為他可能已經知道了拱結構存在水平推力的事實，或許他已經知道了力的分解法則。

圖3 達芬奇有關杆系結構的研究草圖《材料力學史》

目前認為，提出力合成與分解平行四邊形法則的是荷蘭數學家、工程學家斯蒂文 (Simon Stevin，或者Simon Stevinus，1548-1620)，他比達芬奇晚了近一個世紀。斯蒂文在他的《靜力學原理》（1586年）中構造了一對斜面，如圖4所示，設有一串串珠等間距的放置在斜面上，斯蒂文進行了以下證明：

• 串珠必然是穩定的。反證：如果它在一邊的力超過另一邊，它将向右或者向左滑動，由于串珠的循環性，将成為永動機，這不可能。
• 由于懸挂在下面的鍊條部分是對稱的，這說明在每一邊的力是相等的。因此，串珠的這一部分可以被減掉，斜面上的串珠依然平衡。
• 因為串珠具有相同的間隔，每個面上總載荷正比于斜面長度。由于每個串珠所受的斜面支持力與拉力相同，因此斜面越長就越能體現出其省力優勢。

第一條，斯蒂文利用永動機反證了串珠必須平衡；第二條，由于下方串珠因對稱所以兩端受力相等，因此可剪去下面的串珠，上部串珠平衡；第三條，這裡的總載荷應該理解為沿斜面上的力，由于總載荷相同，因此當串珠數較多時，分到每個串珠上的力就小，因此對于每個串珠來說，斜面越長，拉住串珠就越省力，也就說明了力的分解規律。

圖4 斯蒂文的斜面

這個實驗通過拓展，即可演繹出平行四邊形法則。利用該法則，既可以進行力的合成，也可以進行力的分解。不過，斯蒂文隻是利用實驗手段憑直覺得到了力平行四邊形法則（見斯蒂文及其力學貢獻），并沒有進行嚴格的數學證明。在斯蒂文的著作中，明确了用線段表示力的方式，這也使一些當代學者認為他是第一位将力矢量用圖形化表達出來的人。

又100多年後，1687年法國數學家伐利農 (Pierre Varignon, 1654-1722) 出版了《新力學大綱》，書中第一次對力矩的概念和運算規則做出了科學的說明，并首次提出了靜力學一詞。1725年（伐利農去世後三年），在他另一本著作《機械的或靜止的》(Nouvelle Mecanique ou Statique) 中，引入了索多邊形和力多邊形，以圖形的方式構建懸挂重物懸鍊形态問題，這成為圖解靜力學的重要基礎。

圖5 伐利農的索多邊形（左）和力多邊形（右）

1864年和1866年，德裔瑞士土木工程師，蘇黎世瑞士聯邦理工學院庫爾曼教授 (KarlCulmann, 1821-1881) 出版2卷《圖解靜力學》(Die graphische Statik)，系統化的梳理和擴展了圖解法，正式将其命名為圖解靜力學。此後，圖解靜力學作為力學的一個重要分支在世界範圍内的廣泛關注。許多建築設計師利用該方法驗算結構設計的合理性，并對設計方案進行優化選擇。

圖6 庫爾曼和他的圖解靜力學

為了便于體會圖解力學的方法，這裡我們先選擇求解平面任意力系合力的例子，來說明圖解法的求解過程，以體會力學圖解法的魅力。假設在某一剛體上作用有任意三個集中力（更多力的情況類似，隻是會變的較為複雜），分别标記為1、2、3，如圖7所示。

圖7 任意平面力系求合力示例

求解時，先在平面内任選一點E（圖7中右下圖），做矢量EF等價于力1（大小和方向相同），然後以F點為起點，做FG矢量等價于力2，再以G點為起點，做矢量GH等價于力3。顯然，連接EH即為三力的合力，這就是力合成的多邊形法則。這一方法避免了數學求解，隻需要在平面内連接各個力的矢量，最終連接第一個力矢量的起點和最後一個矢量的終點就得到了任意力系的合力，通過測量EH的長度，就可得到合力的大小，EH的指向即為合力的方向。這就是現在多數《理論力學》和《工程力學》中，求解合力的多邊形法則。

這裡仍存在一個問題，僅知道合力的大小和方向，如果不知道合力作用點（或線）的位置，仍然無法判定剛體的運動效果。實現這一目的，需要三個步驟：

• 在輔助圖中（右下圖），以力多邊形為基礎，在不太遠的地方任選一點O，稱為極點，依次連接EO，FO，GO，HO。
• 原力系中（左上圖），在力1附近任選一點d，過d點做EO的平行線，交力1延長線于e，然後再過e點做FO的平行線交力2的延長線于g，繼續過g點做GO的平行線交力3的延長線于k，最後過k點做HO的平行線，記為kH。
• 延長起始的平行線de和最後的平行線Hk，标記它們的交點為K，則K點就是合力作用線上的一點。将合力EF平移至K點，由于剛體上的力可沿作用線滑移，就可以明确合力對于剛體的作用效果。

可能有的同學會問，圖解法可靠嗎？如何保證合力的作用線一定經過K點。為了便于理解，我們再取隻含有兩個豎直力的例子，對合力通過K點進行嚴格的證明。如圖7所示，剛體上承受力1和力2，根據圖解法作出輔助圖，如圖8中右下圖所示，這裡由于力系為平行力系，因此力多邊形變為直線，力系合成圖如圖8中左上圖所示，eF//Ao，FG//Bo，GH//Co，各線條和力的輔助線标識方法如圖所示。

圖8 平面一對平行力合成示例

現在，我們證明合力通過K點。首先，将力1平移到F點，記為矢量Fd，并對Fd進行平行四邊形分解為Fc和Fe；将力2平移到G點，記為矢量Gg，并對Gg進行平行四邊形分解為Gh和Gf。以下進行證明：

因為：eF//Ao，de//FG//Bo，且AB=Fd，

所以：△Fde與△ABo全等，de=Bo。平行四邊形得，Fc=de=Bo。

因為：GH//Bo, gh//Co，且hg=BC，

所以：△Ggh與△BCo全等，Gh=Bo。

所以：Fc=Gh，相互抵消，剩下隻有分力fe和分力Gf，其合力必過其交點K，得證。對于三個力或更多的力，都可以用同樣的方式先進行力的分解，最後的結果，除了第一個分力和最後一個分力之外，其它分力都可以相互抵消，最終證明合力通過K點。

可以看出，利用圖解法求解力學問題，隻要有直尺、會畫平行線，就可以得到任意力系的合力，沒有涉及任何的數學推導與求解。在教學中，對于那些空間想象能力強的同學，先以圖解法為其打開力學分析的大門，或許也是一種不錯的選擇。

參考文獻：

[1] 孟憲川, 趙辰. 圖解靜力學簡史. 建築師. 2012(6):

[2] 伏龍科夫[著]，呂茂烈等[譯]. 理論力學教程. 高等教育出版社. 1958.2

[3] Baranyai T. Analytical graphic statics[J].International Journal of Space Structures, 2021, 36(2): 117-126.

[4] Gerhardt R , Kurrer K E , Pichler G . Themethods of graphical statics and their relation to the structural form[J].Santiago Huerta Fernández, 2003, 22(1): 997-1006.

[5] Kurrer K E . The History of the Theory ofStructures: Searching for Equilibrium[M]. 2018.

[6] 百度、維基等百科知識。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!