向心加速度的物理意義及線速度方向變化快慢

“向心加速度的物理意義是線速度方向變化快慢的程度”這一說法雖然在正規的教科書中從未見過，但在很多教輔資料中廣為流傳。向心加速度的物理意義到底是不是線速度方向變化快慢的程度？在此結合一些相關論文對這個問題加以解釋供讀者評鑒。

一

說到線速度方向變化快慢，在平面直角坐标系中，就是線速度方向與某一個确定方向間的夾角對時間 t 的導數。

速度可以分為與x軸平行的分量和與x軸垂直的分量，而速度的方向可以用它和x軸正方向間夾角的正切來表示。

兩邊對時間 t 求導，

得

這就是在直角坐标系中描述“速度方向變化快慢”的一般表達式。那麼在勻速圓周運動中它又會是什麼形式呢？我們看看下面的圖。

設質點做半徑為R 、圓心在原點O的勻速圓周運動（逆時針方向），則質點的位置坐标可表示為：

對上式求一階導數得

再對上式求一階導數得

将這兩式代入上面第三式得

在勻速圓周運動當中，“線速度方向變化快慢”恰好等于半徑轉動的快慢即角速度，很顯然 向心加速度的物理意義并不是線速度方向變化快慢的程度。

二

接下來的問題是：既然向心加速度的物理意義不是線速度方向變化快慢的程度，那它的物理意義到底是什麼？回答這個問題前我們先分析一些常見的曲線運動，看看能不能在這些分析中得到什麼啟發。

在平抛運動中，速度的方向和大小都随時間而變化，其實這個運動可以看成是水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動的合成。

在斜上抛運動中，同樣速度的方向和大小都随時間而變化，其實這個運動也可以看成是沿初速度方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動的合成。

在勻速圓周運動中，線速度的大小不随時間變化，而方向時刻在變化，按照上面的思路，其實這也是物體沿圓周切線方向的勻速直線運動和物體沿圓周法線方向“落向圓心”的勻加速直線運動合成的結果，那麼後者的加速度又是如何呢？先看圖。

由圓的知識和相似三角形的知識得

由初速度為零的勻加速直線運動的位移公式可知，物體沿法線方向“落向圓心”運動的加速度為：

這正是我們所讨論的向心加速度的表達式，也就是說， 物體做勻速圓周運動的向心加速度就是瞬時法線方向勻加速直線運動的加速度， 它表示的是物體沿法線“落向圓心”運動時速度大小變化快慢的程度，是向心力作用的結果。因此，向心加速度與直線運動中的加速度沒有本質的區别，它們都是描述速度大小随時間變化快慢的物理量。

結論

1.在勻速圓周運動中，線速度方向變化快慢程度在數量上等于角速度而不等于向心加速度。

2.向心加速度的物理意義是某一瞬間物體沿法線“落向圓心”運動時速度大小變化快慢的程度。

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