《義務教育數學課程标準（2022年版）》（以下簡稱《标準》）在課程理念、目标、内容等方面都有明顯變化，明确落實立德樹人的根本任務，體現了數學學科育人價值的課程理念，确定了核心素養導向的課程目标。課程内容的結構化是課程修訂的重要理念，在這一理念下數學課程内容的結構和具體内容都有調整，理解和把握課程内容的結構化特征有助于準确把握《标準》，并有效落實于教學實踐。

　　一、《标準》内容結構化的特征分析

　　為體現核心素養導向的課程目标，根據課程内容結構化整合的理念，《标準》在内容結構上進行了調整，在“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”四個領域下整合或調整了學習主題。

　　小學由原來的兩個學段調整為三個學段，各學段的主題變化較大。初中階段的主題變化不大，某些表述有所調整，如事件的概率改成随機事件的概率。“綜合與實踐”領域雖沒有内容主題，但變化較大的是以跨學科主題學習為主，并将部分知識内容融入其中。

　　（一）内容結構化體現了學習内容的整體性

　　課程内容的結構化通過主題整合的方式呈現，體現了學習内容的整體性。

　　在“數與代數”領域，小學三個學段的主題由原來的“數的認識”“數的運算”“常見的量”“探索規律”“式與方程”“正比例、反比例”六個整合為“數與運算”和“數量關系”兩個。這不隻是形式上的變化，更是從學科本質和學生學習視角對相關内容的統整，更好地體現了學科内容的本質特征和學生學習的需要。

　　“數與運算”主題将數的認識和數的運算兩個核心内容進行整合，将數與運算作為一個整體進行組織，體現二者之間的密切關聯。小學階段的運算都是數的運算，包括整數、小數、分數運算。數與運算不可分，數的認識包含數的抽象表達、數的大小比較等，自然數從小到大就是一個累加的過程，從1開始每增加一個後繼（ 1）就得到一個新的數，其中蘊含了加的運算，數的大小比較也與運算密切相關。運算的重點在于理解算理、掌握算法，算理的理解最終都要追溯到數的意義。

　　如加法運算，整數和小數的加法是相同數位上的數相加，分數的加法是相同分母的分數直接相加，也就是分數單位相同的分數相加，即分母不變、分子相加。整數、小數、分數的加法計算都可以理解為相同計數單位的個數相加。将數與運算整合成一個主題，有助于從整體上理解數和運算，為學生從整體上把握和理解數學知識與方法，形成數感、符号意識、運算能力、推理意識等核心素養提供基礎。

　　“數量關系”主題突出了問題解決的内容載體和問題解決能力培養。常見的數量關系、式與方程、正比例、反比例和探索規律等内容得到整合（方程移到第四學段），這些内容的本質都是數量關系。從數量關系的視角理解和把握這些内容的教學，有助于從整體上認識這些内容的核心概念。數量關系的重點在于用數和符号對現實情境中數量之間的關系和規律進行表達，凸顯用數學模型解決現實情境中的問題。

　　在數量關系主題下，包含了用四則運算的意義解決實際問題，理解和運用常見的數量關系解決問題，從數量關系的角度理解字母表示關系和規律、比和比例等内容。初中第四學段的“數與式”也是數與運算的延伸，本質上是數的認識擴展，以及數與式的運算。“方程與不等式”“函數”兩個主題要求學生較為系統地學習數量關系，并進一步學習變量之間的數量關系，探索事物的變化規律。從這個意義上說，義務教育階段的“數與運算”和“數與式”構成了一個統整的主題；“數量關系”和“方程與不等式”“函數”構成了一個統整的主題。

　　在“圖形與幾何”領域，小學三個學段的主題整合為“圖形的認識與測量”“圖形的位置與運動”。圖形的認識重點是圖形特征的探索與描述，圖形的測量是對圖形大小的度量，圖形的認識與圖形測量需要從整體上把握。圖形的認識是對物體形狀的抽象圖形進行表示，重點是認識圖形的特征。圖形特征的認識與圖形的測量有密切關系，如長方形相對的邊相等這一特征，需要通過測量确認其正确性。圖形的測量離不開對圖形的認識，圖形測量的過程與結果都與具體圖形的特征密切相關。探索圖形的周長、面積、體積的問題，一定要與具體的圖形建立聯系，對圖形特征的把握直接影響圖形測量的學習。

　　如學生在學習長方形面積時，在一個長和寬都是整厘米的長方形中，擺滿面積單位（1平方厘米的小正方形），面積單位的個數就是其面積。這樣的操作之所以可行，與長方形的四個角都是直角有關。探讨平行四邊形面積就沒有這麼簡單，直接擺小正方形就行不通，要将平行四邊形轉化成長方形才可以。圖形的認識和測量的整合，凸顯了兩個主題内容之間的内在聯系，有助于學生從整體上理解和掌握這些内容，并使學生形成知識與方法的遷移。圖形的位置與圖形的運動也是有密切關系的内容。在小學，圖形的位置重點是用一對有序數對描述一個點的位置（距離和方向也可以看作一對數），圖形的運動主要是圖形的平移、旋轉和軸對稱。要認識到圖形運動本質上是圖形上點的位置的變化，這種變化主要是平移或旋轉，确定圖形運動前的位置與運動後的位置的關系，了解其中的變化和不變，也就是點的位置的變或不變，所以圖形的運動與圖形的位置有密切的關系。

　　初中第四學段“圖形的性質”是“圖形的認識與測量”的延伸，學生要以抽象的方式進一步探索小學階段涉及的圖形，從基本事實出發推導圖形的幾何性質和定理，理解和掌握尺規作圖的基本原理和方法。“圖形的變化”和“圖形與坐标”是小學階段“圖形的位置與運動”的延伸，學生要進一步學習圖形在軸對稱、旋轉和平移時的變化規律和變化中的不變量，以及用代數的方法表達圖形的特征，體現數形結合。義務教育階段圖形與幾何的相關主題構成一個整體。

　　在“統計與概率”領域，小學三個學段的主題調整為“數據分類”“數據的收集、整理與表達”和“随機現象發生的可能性”三個，重點強調數據的處理。收集、整理與表達是數據處理的主要方式，更有助于學生數據意識的形成。原課标中的“分類”調整為“數據分類”，與“數據的收集、整理與表達”一緻，二者構成一個整體，都是以數據為研究對象，前者是後者必要的準備。學生可以從整體上理解統計離不開數據，二者都是用恰當的方法處理數據，從而逐步形成數據意識。初中第四學段的主題“抽樣與數據分析”和“随機事件的概率”是小學三個學段主題的延伸，五個主題構成一個整體。

　　“綜合與實踐”領域強調解決實際問題和跨學科主題學習，以主題式學習和項目式學習的方式設計與組織。義務教育階段對這一領域進行了整體設計，同樣構成一個整體。

　　（二）内容結構化反映學科本質的一緻性

　　内容結構化通過學習主題的重組實現，四個領域下的主題不僅體現了内容的整體性，還反映了主題内學科本質的一緻性。學科本質一緻性以主題的核心概念為統領，以一個或幾個核心概念貫穿整個主題，在不同學段表現的水平不同，但本質特征具有一緻性，指向的核心素養也具有一緻性。以“數與代數”領域為例，對于“數與運算”主題，“數的意義與表達”“加的意義”“相等”“運算律”等是核心概念（大概念、大觀念或關鍵概念），其中最重要的概念是“數的意義與表達”，整數、小數、分數的認識與運算都與相應數的意義與表達密切相關。

　　“數的認識”中從整數到分數、小數，都是從數量到數的抽象，核心的概念就是其意義和用抽象符号表達的方式。自然數表達為“十進制計數法”，用0、1……9這十個符号和以十為基底的位值制表達所有的數，如235表達的是2個“百”、3個“十”和5個“一”，分數和小數也是用抽象的方式表達。“數的運算”中，算理和算法的理解最終都追溯到數的意義，同樣具有一緻性。在“數與運算”主題下，幾乎所有的問題都可以用這樣一個或幾個核心概念去理解，這樣少量的幾個核心概念反映了這一主題的學科本質。

　　在對該主題内容持續的學習過程中，學生會不斷利用這些概念并通過遷移解決新的問題，相關的核心素養“數感”“符号意識”“推理意識”“運算能力”不斷得到發展。初中第四學段的“數與式”是小學階段“數與運算”主題的延續，數的認識拓展到有理數。運算不僅包括數的運算，還拓展到式的運算，但主題的學科本質是一緻的，幾個核心概念也貫穿在主題内容之中，學生核心素養的發展也具有一緻性。

　　對主題學科本質的分析，特别是主題核心概念的确定，是值得研究的重要話題。上面僅是對“數與運算”主題學科本質一緻性的簡要分析。對“數量關系”“圖形的認識與測量”“圖形的位置與運動”“數據的收集、整理與表達”等主題學科本質一緻性的理解，以及相關核心概念的提煉，需要在教學實踐中不斷探索。

　　（三）内容結構化表現學生學習的階段性

　　根據學生發展年齡特征和學習循序漸進的需要，義務教育階段課程内容各學習主題以螺旋式上升的方式被安排在四個學段。不同學段提出了相應的水平要求，表現了學生學習的階段性特征，這體現在各主題不同學段的“内容要求”“學業要求”和“學段目标”之中。以“數與代數”領域“數量關系”主題為例，在小學三個學段表述為“數量關系”，初中第四學段的“方程與不等式”和“函數”則是小學階段數量關系的延伸和發展，在體現内容的整體性和學科本質一緻性的同時，四個學段内容的選擇和設計呈現明顯的階段性。對比第三學段“數量關系”主題和第四學段“方程與不等式”主題的部分學業要求，就可以發現它們的階段性特征（見表1）。

表1 第三、第四學段主題學業要求對比

　　從數量關系的角度看，兩個主題的學科本質具有一緻性，但有明顯的階段性特征。例如，關于等式的基本性質，第三學段的要求是“在具體問題中感受等式的基本性質”，第四學段則是“掌握等式的基本性質”；關于代數思維，第三學段的要求是“在具體情境中，用字母或含有字母的式子表示數量之間的關系、性質和規律”，第四學段則是“根據具體問題中的數量關系列出方程，理解方程的意義”。了解各主題的階段性要求，不僅對特定學段内容的理解和教學要求有重要意義，而且有助于教師了解同樣主題在不同學段的特征，從而分析學生的學習基礎和未來學習的需求。階段性特征也體現在同一主題下對不同學段核心素養的要求上。例如，“數量關系”和“方程與不等式”主題，第三學段重點強調幾何直觀、模型意識（在内容要求中）和初步的應用意識，第四學段強調建立模型觀念。

　　二、課程内容結構化的現實意義

　　《标準》強調，課程内容的組織“重點是對内容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑”，這是本次課程修訂的重要理念。義務教育數學課程的結構化特征，在内容設計上體現了整體性、一緻性和階段性。為什麼要對内容進行結構化整合？内容結構化有什麼現實意義？下面對此作一些簡要分析。

　　課程内容組織有多種模式，遵循學科的邏輯、學生發展的邏輯抑或解決社會問題的取向，不同設計理念構成不同樣态的課程結構。課程内容的結構化是綜合考慮各方面因素進行的課程組織方式。重視學科結構，是以學科邏輯為主線，以有助于學生理解和促進學生發展為目标的課程設計理念。“學科結構的學說對于課程的規劃和組織具有指導作用和實際影響。内容的連貫與綜合、教學方法和學習方式都與所采用的結構概念聯系着。”許多教育學者對其有明确的論述，如布魯納在《教育過程》一書中對學科結構的價值、意義和方法作了系統闡述，施瓦布強調學科内容結構在課程教學設計中的作用。縱觀學科結構研究的理論，結合本次課程修訂提倡的理念，數學課程内容的結構化具有以下幾個方面的意義。

　　（一）有助于更好地理解和掌握學科的基本原理

　　課程内容的結構化，目的在于體現學習内容之間的關聯，使學生更好地理解一個學科的基本原理，進而促進其對學習内容的掌握和能力的發展。将學科内容恰當地組織起來，進而形成适應學生理解和遷移的知識結構，避免學生簡單孤立地學習知識與方法，使其在學習過程中建立起合理的結構體系，這是課程内容結構化的基本理念。布魯納認為，“簡單地說，學習結構就是學習事物是怎樣相互關聯的”。

　　例如，在數學中，“代數學就是把已知數同未知數用方程式連接起來，使得未知數成為可知的一種方法。解這些方程式所包含的三個基本法則，是交換律、分配律和結合律。學生一旦掌握了這三個基本法則所體現的思想，他就能認識到，要解的‘新’方程式完全不是新的，它不過是一個熟悉的題目的變形罷了。就遷移來說，一個學生是否知道這些運算法的正式名稱，比起他是否能夠應用它們來，是次要的”。學習内容的這種關聯是通過學科的核心概念實現的，在結構化的内容體系中，知識之間不是孤立的互不相幹的，學科知識之間是相互關聯的，打通知識之間關聯的鑰匙就是學科的基本原理。

　　布魯納強調教學要注重基本觀念的運用，認為“一門課程在它的教學過程中，應反複回到這些基本觀念，以這些觀念為基礎，直至學生掌握了與這些觀念相适應的一整套體系為止”。學科結構化的目的是使學習者了解所學内容的關聯，而不是對個别知識的掌握。學習者從内容的關聯中體會其中的核心概念（或基本觀念），并将這些核心概念在其後的學習中反複運用和強化。施瓦布對學科結構也有類似的觀點，認為“學科結構是部分地由規定的概念體系所構成”“不同的學科具有極其不同的概念結構”。近年來有關學科的大概念、大觀念，學科核心概念的進階等方面的研究重點，都與學科結構的理念一脈相承。

　　前面分析的《标準》内容結構整體性特征體現了這樣的理念，一個主題内知識與方法之間構成一個整體，這些内容通過核心概念建立起聯系，使具體内容的學習不再單一而碎片化，而是強調在具體内容中體現基本原理的核心概念的理解和運用。例如，數與運算中“數的意義與表達”“相等”“運算律”等是核心概念，這些核心概念是學習相關内容的關鍵，在學習具體内容時，學習者将不斷地回到這些核心概念，從而在整體上理解掌握相關的内容。

　　（二）有助于實現知識與方法的遷移

　　内容結構化使得零散的内容通過核心概念建立關聯。核心概念（關鍵概念、大概念、大觀念）可以把主題内零散的内容聯系起來，促進知識與方法的遷移。“核心概念是可以把領域或主題内，甚至跨越不同領域、不同主題的更為基本的概念、方法和問題聯系起來的具有支配性的概念，是促進有意義的、聯系緊密的知識的一個實用而強大的工具。

　　例如，‘等分’這個核心概念（一個整體可以被分為大小相等的幾個部分）為兒童發明用于公平分配物品的非正式方法提供了概念基礎，等分（類比公平分配的非正式的形式）就為理解包括除法、分數、度量和平均分在内的正式概念奠定了基礎。”内容結構化可以通過核心概念更好地理解和掌握一類内容中基本的概念和方法。核心概念幫助學生更好地理解和強化更多的知識與方法，并将其運用于新場景的學習之中，實現知識與方法的遷移。學生學到的是以核心概念為線索的一套學科内容體系，而不是簡單的零碎的知識和技能。

　　在布魯納有關學科結構的理論中，人們所熟知的“任何學科的基本原理都可以用某種形式教任何年齡的任何人”的觀點，聽起來似乎有些極端，但從内容結構化的視角理解，這裡的基本原理并不是形式化的術語表達的抽象的學科概念，而是支撐某一類知識體系的核心概念，這些核心概念的表現形式可以處于不同層次和不同水平。對于不同年齡的學生，可以用恰當的方式使他們在不同水平上認識其表達方式，如數學中的“相等”是一個核心概念，對于用“=”來表達相等的關系就有不同水平，有研究将其分為“機械的操作型，靈活的操作型，基礎的關系型，互相比較型”等不同水平。

　　《義務教育課程方案（2022年版）》提出的“加強課程内容的内在聯系，突出課程内容結構化，探索主題、項目、任務等内容組織方式”正是反映了課程設計的結構化理念。早在20世紀90年代，北京的特級教師馬芯蘭就以結構化的思想梳理了小學數學的核心概念，并以核心概念為線索，“由十幾個最基本的概念為知識的核心，把小學中的主要數學知識聯系了起來。‘和’這個概念則是知識的核心的核心。在學生學習‘10以内數的認識’時就開始以滲透的手段逐步建立‘和’的概念，通過滲透‘和’的概念學習‘10以内數的認識’‘加、減計算’‘理解加減關系’‘加減求未知數’‘簡單應用題的結構’”。

　　馬芯蘭通過數學内容的結構化，以核心概念為線索構建學習内容體系，對“數與代數”領域中的540多個概念之間的從屬關系進行了深入研究，将起決定作用的十幾個核心概念提煉出來，形成了一個完整的知識結構體系。用較少的時間使學生理解核心概念，可提高小學數學教學質量和效率，通過知識與方法的遷移實現小學數學教學減負增效。

　　近年來有許多關于“大概念”及其在學科課程教學中作用的研究，促進人們深入地思考其理論與實踐。“廣義的大概念指的是，在認知結構化思想指導下的課程設計方式，是為避免課程内容零散龐雜，用居于學科基本結構的核心概念或若幹居于課程核心位置的抽象概念整合相關知識、原理、技能、活動等課程内容要素，形成有關聯的課程内容組塊。狹義的大概念同樣是出于課程結構化的目的，同時強調學生對核心概念本質的理解，特指對不同層級核心概念理解後的推論性表達。”這裡提到的“大概念”“核心概念”都與課程的結構化密切相關，隻有在具有結構化特征的學科内容主題中，核心概念才有可能得到凸顯，發揮引領、深化的作用，帶來持續發展。

　　以核心概念為線索的課程内容結構化，有助于課程實施者更好地把握課程内容本質，在分析和提煉學習主題核心概念的基礎上，理解具體學習内容的學科本質，使學生深刻理解和掌握學習内容，并在此基礎上實現知識與方法的遷移，從而促進學生核心素養的形成。結構化的課程内容可以促進課堂教學的改革，實現“用少量主題的深度覆蓋去替換學科領域中對所有主題的表面覆蓋，這些少量主題使得學科中的關鍵概念得以理解”。這樣的教學設計之所以能夠實現少量主題的深度覆蓋替換所有主題的表面覆蓋，是因為利用知識與方法的遷移，而在遷移中發揮作用的則是“關鍵概念”，這裡的關鍵概念與核心概念是一緻的。

　　（三）有助于準确把握核心概念的進階

　　學習進階的研究是針對學科的核心概念或大概念展開的，在物理、化學、生物等科學類學科中有大量的研究。數學學科的學習進階研究在國外由來已久。盡管數學學科學習進階研究與科學領域的有所不同，但在本質上具有共同的特征。國内對于數學學科學習進階的研究雖然剛剛起步，但也有學者對數與代數、統計與概率等主題中核心概念的進階有系列的研究。學習進階研究重點關注四個必備的要素：大概念及對大概念的解析；界定清晰的各進階層級；檢驗學生所處水平的測評工具；促進學生發展的教學幹預手段。從某種意義上說，學習進階的研究可以看作布魯納學科結構理論的延續與教學實踐的支持。

　　布魯納認為，教授學科基本結構有四個重要意義：

　　一是懂得基本原理，使得學科更容易理解；二是使學習的内容更容易記憶；三是更容易實現知識和方法的遷移；四是縮小高級知識與低級知識之間的差别。這些關于學科結構重要性的觀點，與學習進階的基本要素有異曲同工之處。就學科内容結構化的現實意義而言，我們還需在上述學科結構的四個意義的基礎上增加一條，就是結構化的内容對于學生形成核心素養的重要意義。以核心概念為主線的結構化學習主題，有助于課程實施者從學習進階的視角整體理解學生不同階段的學習内容，明确每一個階段完成的學習任務所達成相關核心概念的階段性水平。

　　随着學習進程的遞進，學習内容不斷擴展，相關核心概念的水平不斷提升，從而使學生的核心素養逐步形成。結構化的内容會使學生的學習變得更輕松，更持久，“一個人越是具有學科結構的觀念，就越能毫不疲乏地完成内容充實和時間較長的學習情節”。在這樣的學習過程中，學習建立積極的情感體驗，而持久的學習經曆也有助于活動經驗的積累和核心素養的形成。内容結構化，凸顯學習主題的整體性和一緻性，并通過主題中起重要作用的核心概念來實現。

　　内容結構化的階段性特征凸顯學習進階的進程，學習進階的階段性特征通過關鍵内容的教學體現出來。課程内容的結構化提供了以核心概念為線索的促進學習進階的路徑，透過關鍵内容的深度學習實現核心概念的理解與進階。以“數與運算”主題為例，“數的意義與表示”可以看作一個核心概念，其核心要義是如何從數量抽象為數，如何将數用符号表達出來。

　　在義務教育階段的四個學段中，學生學習有關數的内容時都與這個概念建立關聯。第一學段認識20以内的數、百以内的數、萬以内的數；第二學段認識十進制計數法，初步認識分數和小數；第三學段認識分數和小數的意義，自然數的性質（奇數與偶數、質數與合數）；第四階段認識有理數。每一個階段雖然認識具體的數不同，但其學科本質都指向核心概念“數的意義與表示”，都是用抽象的符号和計數單位表達數。例如，35表示的是3個十（十位），5個一（個位）；35表示的是3個1/5（分數單位）；-35表示與35相反的量。每一種抽象的符号表達，都與具體的數量關聯。如何建立起這種關聯，學生在不同階段對于這種關聯的理解水平如何，以及如何引導學生理解與掌握這種關聯，都需要通過結構化的學習内容來實現。把握其中的核心概念，并在學生學習進階過程中實現内容與方法的遷移，進而促進學生核心素養的發展，是整體提升教學質量的關鍵。課程内容的結構化為實現教學方式的變革提供了可能。

　　三、内容結構化帶來的挑戰與契機

　　課程内容結構化對課程實施提出了新的要求，同時也為教科書編寫和教學改進等提供了契機。内容結構化體現了内容統整的理念，避免了知識的碎片化。在内容要求和學業要求中，将關聯密切的知識内容統整，體現了核心概念為主線的内容一緻性。内容結構化為教育者引導學生從整體上深刻理解主題的内容和方法，促進學生能力的發展和核心素養的形成提供了條件。在教學活動中，要充分考慮學科的核心概念，從體現核心概念的關鍵内容入手，促進學生對其學科本質的理解，形成知識與方法的遷移，逐步發展學生的核心素養。

　　（一）内容編排以主題的核心概念為線索

　　《标準》對領域下的主題進行了整合，凸顯了數學學科的本質，體現了主題内容的一緻性，為教科書編寫和教學設計提供了更多選擇和組織的空間。

　　首先，主題的整合将帶來教科書呈現上的變化。《标準》除“綜合與實踐”領域外，小學階段和初中階段分别列出七個和八個學習主題，如“數與代數”領域包括“數與運算”“數量關系”“數與式”“方程與不等式”“函數”五個主題。每個主題都構成一個整體，其中蘊含了反映主題學科本質的核心概念，這些核心概念在不同學段具有一緻性和階段性。例如，小學的“數與運算”主題和初中的“數與式”主題具有共同特征，其學科本質具有一緻性，“數的意義和表示”“相等”“運算律”等作為統領的核心概念體現在不同學段的相關内容之中，而在不同學段又具有階段性特征，抽象的程度不同，表征的水平就有所不同。

　　教科書的呈現既要考慮将其作為一個整體進行設計與組織，也要體現其階段特征。對于“數與運算”主題，現有的教材大多是将數的認識和數的運算分成不同的單元進行設計。有教材将“100以内數的認識”和“100以内數的加減法”安排在一下和二上的不同單元。依據《标準》對“數與運算”主題的整體理解，可以考慮将100以内數的認識和加減法運算安排在同一單元，使學生在理解數的意義的同時，探索100以内加減法的算理和算法，從而在整體上理解和掌握這個内容。數與運算的結合，不僅促進學生對算理和算法的理解掌握，反過來也可以幫助學生從運算的角度進一步理解數的意義，有助于學生數感、符号意識、運算能力、推理意識等核心素養的形成。

　　當然，并不是所有的數與運算内容都要采取整合的方式來編排，即使分成不同的單元進行組織和設計，也可以用整體的觀點理解相關内容，以把握數與運算的關聯。“圖形與幾何”領域将“圖形的認識”與“圖形的測量”主題整合為“圖形的認識與測量”主題，強調圖形的認識與測量關聯，從整體上認識圖形與測量。與其相關的核心概念可能包括“圖形的特征”“圖形大小的度量”等。

　　幾何中的測量都是對圖形的測量，圖形測量的本質是确定圖形的大小，從一維、二維到三維，分别用長度、面積、體積表達。對一個圖形完整的認識，包括對其特征（如長方形的邊和角及其關系）的認識，也包括對這個圖形的周長、面積等度量的認識。例如，三角形的兩邊之和大于第三邊，可以從邊的長度的測量視角進行探索。将圖形的認識與測量整合成一個主題，為圖形與幾何的學習提供了更廣闊的空間，不僅可以把周長和面積這樣的測量問題整合起來進行分析和理解，也可以嘗試将圖形的認識與測量問題整合起來進行教材的組織和教學設計。

　　其次，具體内容主題歸屬的變化有助于課程實施者準确理解其學科本質。《标準》對一些内容調整了主題歸屬，如“用字母表示數”和“百分數”由原來“數的認識”主題下分别調整到“數量關系”和“數據的收集、整理與表達”主題下。用字母表示數在以往的标準和教學中隻是作為數的進一步抽象，數是數量的抽象，字母又是對數的更一般的表達，是更高層次的抽象。

　　《标準》将用字母表示數調整到“數量關系”主題下，重點将用字母表示數理解為事物之間關系和規律的一般性表達，其内容要求是“在具體情境中，探索用字母表示事物的關系、性質和規律的方法，感悟用字母表示的一般性”，學業要求為“能在具體情境中，用字母或含有字母的式子表示數量之間的關系、性質和規律，感悟用字母表示具有一般性”。從數量關系角度來理解字母表示數的學科本質，其教學的重點和意義與以往相比就會産生變化，從某種意義上彌補了小學階段不學簡易方程帶來的缺失，有助于發展學生初步的代數思維。

　　“百分數”的内容移到“數據的收集、整理和表達”這個主題下，凸顯了百分數的統計意義。以往百分數在“數的認識”主題下，學生更多是從數的意義理解百分數，将百分數看作特殊的分數。但百分數主要用于解決實際問題，從統計意義上理解百分數更能清晰地了解其來龍去脈。百分數的内容要求是“結合具體情境，探索百分數的意義，能解決與百分數有關的簡單實際問題，感受百分數的統計意義”。這些内容主題歸屬的變化，有助于課程實施者準确理解具體内容的本質，為合理的教學設計創造條件。

　　（二）内容分析凸顯學科本質的整體特征

　　分析學習内容是合理進行教學設計和課堂實施的前提，其重點在于對學科内容的整體理解。課程内容結構化為整體上理解相關内容的學科本質提供了線索，有助于确定一類學習内容的核心概念、關鍵内容和重點難點。以“小數除法”為例，在現行某版本的教材中，這個内容單元和相關的前後知識安排如表2所示。

表2 小數除法單元（五上）及相關内容分布

　　學習内容的單元分析一般是将單元作為整體，分析這個單元内容的本質及其不同内容之間的關系，确定單元的重點和難點等。從主題視角看單元内容的本質及其關聯，并且将本單元内容與前後相關的單元内容建立聯系，會對其本質有更清晰的認識和理解。“小數除法”這個單元的主題是“數與運算”，主要内容是小數除法的計算方法。從教材内容的具體分析可以看出，前三個内容是不同類型的小數除法，體現這個内容的核心概念是“計數單位個數‘累加’”。從計算方法的角度确定哪個具體内容（例題）是重點，有助于學生理解小數除法的算理和算法。而後三個内容“近似計算”“循環小數”“混合運算”不屬于計算方法，近似計算和混合運算都與問題的情境有直接關系，從某種意義上講涉及問題解決能力，其核心概念與計算方法不同。

　　《标準》在第二學段“數與代數”領域對“數量關系”主題有“能在簡單的實際情境中，運用四則混合運算解決問題”的學業要求。而循環小數在本質上是數的認識的擴展，之所以在小數除法單元中呈現，原因之一就是解決類似1÷3這樣的問題時出現了循環小數，其重點不是除法的問題，是數的表示的拓展，是如何表達循環小數和循環小數在具體情境中怎樣取舍的問題，其核心概念是“數的意義與表達”。這兩類問題雖然不是該單元的重點，但與小數除法的計算有關，可以看作小數除法的應用，其本質是問題解決和數的表達。施教者在對内容進行縱向整體分析時還要了解前後單元的相關内容。從表2可以看到，四年級與小數除法相關的内容有整數除法、運算律和小數的意義等，五下進一步學習的分數除法，與整數除法和小數除法的算理相關。

　　數的運算的重點在于理解算理、掌握算法，與算理直接相關的核心概念是“計數單位的‘累加’”，這一核心概念在四年級和五下都會在不同的運算單元中重複出現。從這個意義上講，這些相關内容在學科本質上具有一緻性。将能夠突出地體現核心概念一緻性的内容作為關鍵内容組織教學，有助于實現知識和方法的遷移，使這些相關内容在整體上形成一個“大單元”。内容結構化有助于從整體上把握内容的關聯，清晰地梳理數的運算内容的線索，以及不同階段“數與運算”主題之間的聯系。将對主題學科本質的整體理解運用到具體的内容分析之中，有助于深刻理解具體學習内容的核心概念，以及單元内容的重點和關鍵内容的确定。

　　（三）教學活動突出關鍵内容的單元整體設計

　　内容結構化促進課堂教學改進的持續研究，從關鍵内容入手的單元整體教學設計是實現核心素養導向目标的重要路徑。《标準》結構化的内容設計在領域下以主題的形式呈現，具體内容要求呈現學科知識與核心素養兩條線索。主題的整合更加凸顯學科内容的本質特征，以及相關内容之間的聯系。通過教學内容的縱向分析，可以從整體上把握學習内容的發展脈絡、學科本質的一緻性特征以及内容之間的關聯，同時把握一個主題内容重點體現的核心概念以及蘊含的核心素養。教學設計與組織應當采用單元整體教學設計的思路，從整體的視角分析内容本質和學生學情，聚焦核心概念，确定核心素養導向的學習目标，針對單元中的關鍵内容設計與實施體現深度學習的教學活動。下面以小數除法為例，借助表2作簡要分析。

　　首先，基于自然單元内容的整體分析，形成以核心概念為線索的反映該單元與前後相關單元之間聯系的内容的整體理解。以教材的自然單元為形，以單元和單元之間内容本質與核心概念為魂，從自然單元入手進行内容分析，既容易操作，又可以從自然單元分析中将學習内容延伸、拓展，實現對學習内容的整體理解。表2顯示“小數除法”單元的核心内容是“數與運算”主題中的小數除法，其重點是理解算理、掌握算法。小數除法的算理和算法與整數除法有密切關系，需要追溯到整數除法，特别是有餘數除法的教學，教學設計時有必要考慮喚起學生這方面的認知，特别是核心概念“計數單位個數‘累加’”的運用。小數意義的理解對于小數除法算理的理解不可缺少，教學中應采用恰當的方式幫助學生運用小數意義理解算理。除了這個主題外，第四至第六三個内容又涉及數的認識和問題解決等，教學中應與相關的核心概念關聯，采取不同的教學策略。

　　其次，确定單元中的關鍵内容。關鍵内容是能更好地體現所學内容的學科本質和核心概念的内容，并且蘊含着相關的核心素養。表2中第一至第三個内容是不同類型的小數除法問題，這些内容中能較為集中地體現小數除法的算理和算法的内容可以作為教學的關鍵内容。從該單元的教材安排看，第一個内容是小數除以整數，可以理解教材的編者将這個内容作為關鍵内容的設計思路。這樣的設計不無道理，這個内容直指小數除法運算，學生直接面對的是小數除法，要解決的問題就是被除數是小數時怎樣計算，可借助這個問題理解小數除法的算理和算法。

　　吳正憲基于多年的教學經驗，在對内容進行整體分析基礎上，将第二個内容“整數除以整數商是小數”作為關鍵内容，通過具體的問題情境引導學生探索和理解小數除法的算理和算法：“4個人吃飯，付給服務員97元，這頓飯他們要AA制”，讓學生根據這個情境提出問題和解決問題。問題本身并不難，但在進行運算時發現97÷4＝24……1，這是一個有餘數的除法。在AA制的情境中，需要将餘下的1繼續除，在整數除法的範圍内無法解決這個問題。“餘下的1怎麼分”引起學生學習過程的認知沖突。這個問題的解決直接引出小數除法計算算理的深度探索。将小數除法與以往學習的有餘數的除法聯系起來，運用學生學習的前概念，可以引起學生進一步探索和思考。更重要的是，從有餘數的除法引入可以喚起學生相關的核心概念——計數單位個數“累加”與細分，并讓學生将其運用于新的問題解決之中。當以“一”為單位的1不夠除以4的時候，将其變成以十分之一為單位的10個0.1，就可以除以4，商是2（2個0.1），接下來的計算都是這個方法的推理。這個例題作為學習這類内容的關鍵内容，對于深刻理解算理、掌握算法起畫龍點睛的作用。

　　最後，設計有效的教學活動。基于學生的基礎和前概念，組織圍繞關鍵内容的學習活動，有助于促進學生整體發展。關鍵内容體現學科本質，指向學生的核心素養。有效教學活動的組織需要基于學生現有的知識基礎和對當前學習内容的理解水平以及存在的困惑，提出引發學生思考的問題，并采用多樣性的策略與方法，引導學生獨立思考、質疑問難、合作交流，在解決問題過程中深度理解所學内容，形成和發展核心素養。在小數除法教學中，師生圍繞“餘下的1怎樣分”的問題展開教學活動，學生經過獨立思考，給出不同的解決方法，再對有代表性的方法進行讨論、質疑、交流，最後實現問題解決，在理解算理、掌握算法的同時，學生的推理意識、運算能力、幾何直觀等核心素養獲得發展。

　　課程内容結構化是深化基礎教育課程改革的重要理念，在中小學數學課程與教學改革中應引起充分的重視。伴随着《标準》的頒布與實施，圍繞課程内容結構化的理解及其引起的深化教學改革的探索将成為重要的研究話題。

　　作者：馬雲鵬（東北師範大學教育學部教授，博士生導師）

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