在數學上的貢獻

1.微積分 1666年，萊布尼茨寫成“論組合術”一文，讨論了平方數序列 0，1，4，9 16，… 的性質，例如它的第一階差為 1，3，5，7，…， 第二階差則恒等于 2，2，2，…等。他注意到，自然數列的第二階差消失，平方序列的第三階差消失， 等等。同時他還發現，如果原來的序列是從 0 開始的，那麼第一階差之和就是序列的最後一項，如在平方序列中，前 5 項的第一階差之和為 1＋3 ＋5 7=16，即序列的第 5 項。他用 X 表示序列中項的次序，用 Y 表示這 一項的值．這些讨論為他後來創立微積分奠定了初步思想，可以看作是他微積分思想的萌芽。“論組合術”是他的第一篇數學論文，使他跻身于組合數學研究者之列。

1672 年，惠更斯給萊布尼茨出了一道他自己正同别人競賽的題目： 求三角級數(1，3，6，10，…)倒數的級數和

萊布尼茨圓滿地解決了這一問題，他是這樣計算的：

初次成功激發了他進一步深入鑽研數學的興趣．通過惠更斯，他了解到 B．卡瓦列裡、I．巴羅、B．帕斯卡、J． 沃利斯的工作。于是，他開始研究求曲線的切線以及求平面曲線 所圍圖形的面積、立體圖形體積等問題。1674 年，他學習 R．笛卡兒幾何學，同時對代數性發生了興趣。這一時期，他檢索了已有的數學文獻。

對于當時數學界密切關注的切線問題和求積問題，萊布尼茨在前人的 基礎上提出了一個普遍方法。這個方法的核心是特征三角形 (characteristic triangle)。在帕斯卡、巴羅等人讨論過的特征三角形 的基礎上，他建立了由 dx，dy 和 PQ(弦)組成的特征三角形。其中 dx，dy 的意義是這樣的：在他 1666 年“論組合術”中所考慮的序列中，用 dx 表示相鄰的序數之差，dy 表示兩個相鄰項值之差，然後在數列項的順序中插入若幹 dx，dy，于是過渡到了任意函數的 dx，dy。特征三角形的兩條邊就是任意函數的 dx，dy；而 PQ 則是“P 和 Q 之間的曲線，而且是 T 點的切線的一部分”。如圖 1，T 是曲線 y=f(x)上的一點，dx，dy 分别是 橫坐标、縱坐标的差值。

利用這個特征三角形，他很快就意識到兩個問題：

(1)曲線的切線依賴于縱坐标的差值與橫坐标的差值(當這些差值變成無窮小時)之比。通過考慮圖 1 中三角形△PQR 和△STU，發現△PQR∽△STU， 從而有 dy/dx=Tu/Su。也就是說，曲線 y 上過 T 點的切線的斜率是 dy/dx。

(2)求積(面積)依賴于橫坐标的無限小區間的縱坐标之和或無限窄矩形之和。 有了這些思想，他很快就推導出了一大批新結論。用他自己的話說就 是，從特征三角形出發，“毫不費力，我确立了無數的定理”。根據萊布尼茨留下的遺稿可以判定，他是在 1673 年建立起特征三角 形思想的。他将圖 1 中特征三角形的斜邊 PQ 用“dS”表示，這樣特征三角形又稱為微分三角形如圖 2。

利用特征三角形，萊布尼茨早在 1673 年就通過積分變換，得到了平面曲線的面積公式：

這一公式是從幾何圖形中推導出來的，經常被他用來求面積。1673—1674 年，他給出了求一條曲線 y=y(x)繞 x 軸旋轉一周所形成的旋轉體的表面積 A 的公式：

同時，他還給出了曲線長度公式：

在求面積問題方面，萊布尼茨深受卡瓦列裡“線由無窮多個點構成， 面由無窮多條線構成”思想的影響，認為曲線下的面積是無窮多的小矩形 之和。1675 年 10 月 29 日，他用“∫”代替了以前的和符号“Omn”(“∫” 是 Sum 和)的第一個字母“s”的拉長)，用∫ydx 表示面積，在這份手稿中，他還從求積出發，得到了分部積分公式:

1676 年 11 月，他得出了公式:

其中 n 是整數或分數(n≠-1)。 萊布尼茨的積分方面的工作是與微分方面的工作交叉進行的。

由于研究巴羅的著作，以及引入特征三角形，萊布尼茨越來越強烈地意識到，微分(主要是導數、求切線)與積分(求和)必定是相反的過程。在 1675 年 10 月 29 日的手稿中，他就注意到，面積被微分時必定給出長度， 因此他開始探讨“∫”的運算(積分)和“d”的運算(微分)之間的關系， 認識到要從 y 回到 dy，必須做出 y 的微差或者取 y 的微分。經過這種不充分的讨論，他斷定一個事實：作為求和的過程的積分是微分的逆。這樣， 萊布尼茨就第一次表達出了求和(積分)與微分之間的關系。 萊布尼茨于 1675—1676 年給出了微積分基本定理(後來又稱為牛頓-萊布尼茨公式) ：

A為曲線 f 下的圖形的面積，圖 3。

萊布尼茨于 1693 年給出了這個定理的證明。以前，微分和積分作為兩種數學 運算、兩類數學問題，是分别地加以研究的。卡瓦列裡、巴羅、沃利斯等許多人得到了一系列求面積(積分)、求切線斜率(導數)的重要結果，但這些結果是孤立、不連貫的。雖然他們已開始考慮微分和積分之間的關系， 然而隻有萊布尼茨和牛頓(各自獨立地)将微分和積分真正溝通起來，明确地找到了兩者的内在的直接微分和積分是互逆的兩種運算。而這正是建立微積分學的關鍵所在。隻有确立了這一基本關系，才能在此基礎上構建系統的微積分學。并從對各種函數的微分和求積公式中，總結出共同的算法程序，使微積分方法普遍化，發展成用符号表示的微積分運算法則。

萊布尼茨于 1684 年 10 月發表在《教師學報》上的論文，題目是“一種求極大值與極小值和求切線的新方法，它也适用于無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算”，在數學史上被公認為是最早發表的微積分文獻。 早在 1677 年 7 月 11 日前後及 11 月左右，萊布尼茨明确定義了 dy 為函數微分，給出了 dy 的演算規則：如果 a 是給定的常數，則 da=0，dax=adx； 加法和減法 v=z—y＋w＋x，dv=dz-dy dw＋dx； 乘法 y=vx，dy=vdx xdv和除法

在 1676—1677 年的手稿中，他利用特征三角形分析了曲線切線的變化情況：對于曲線 v=v(x)，當 dv 與 dx 之比為無窮大時，切線垂直于坐 标軸(x 軸)。當 dv 與 dx 之比等于 0 時，切線平行于 x 軸，當 dv=dx≠0 時，則切線與坐标軸成 45°角，他指出，對于曲線 v，當 dv=0 時，“在 這個位置的 v，明顯地就是極大值(或極小值)”，他詳細讨論了當 dv＜0， 而變成 dv=0 後又 dv＜0 時取極大值，反之則取極小值的情形。他還給出 了拐點—曲線的凹凸情況發生變化的條件。以後，萊布尼茨具體求出了各種各樣複雜函數的微商(導數)。1686 年，給出了對數函數，指數函數的微商。

他引入了 n階微分的符号，并且給出了高階微分的“萊布尼茨法則”：

萊布尼茨在積分方面的成就，後來比較集中地寫在 1686 年 5 月發表 在《教師學報》上的一篇論文中，題為“潛在的幾何與不可分量和無限的分析”。同年，他引入了空間曲線的“密切”這一術語，并給出了曲率ρ公式：

其中R為曲率半徑。1692 年和 1694 年，他給出了求一族曲線 f(x，y，α)=0(α為曲線族參數)包絡的普遍方法：在

中消去α。實際上，用微積分方法研究幾何在微積分奠基者(牛頓、 萊布尼茨等)那裡已經開始了。切線、包絡等幾何問題在萊布尼茨手中是與微積分連在一起的。

2.無窮級數

在微積分的早期研究中，有些函數如指數函數等超越函數的處理相當困難，然而人們發現，若用它們的級數來處理，則非常有成效。因此，無窮級數從一開始就是萊布尼茨、牛頓等人微積分工作的一個重要部分。有時使用無窮級數是為了計算一些特殊的量，如萊布尼茨曾用無窮級數表達式計算π(圓周率)。

在求面積的過程中，通過無窮級數表示圓在第一象限的面積，他得到了π的一個十分漂亮的表達式(圖 4)：

1673 年左右，他獨立地得到了 sinx，cosx 和 arctgx 等函數的無窮 級數展開式。還得到了圓面積和雙曲線面積的具體展開式，并且将這些展 開式與反正切、餘割、正弦函數、自然對數函數、指數函數聯系起來了。 他經常利用級數展開式研究超越函數。有時還将多項式定理用于分式函數或超越函數的展開式。

不僅如此，根據無窮級數展開式，他還得到了如下的式子：

誤的。直到 1734—1735 年，L．歐拉才得到：

在 1713 年 10 月 25 日寫給約翰·伯努利的信中，萊布尼萊還提出了“萊布尼茨判别法”，但他當時的證明卻錯了，在當時他對級數的認識還相當混亂。

3.微分方程

微分方程在微積分創立之初就為人們所關注。1693 年，萊布尼茨稱微分方程為特征三角形的邊(dx，dy)的函數。在微分方程方面， 他進行了一系列工作，其中有些工作是十分獨特的。 1691 年，他提出了常微分方程的分離變量法，解決了形如

型方程的求解問題。1694 年，他證明了把一階線性常微分方程 y′＋P(x)y=Q(x)化成積分方程的正确方法，他的方法使用了因變量替換．同時，他還給出了(y ′)2 p(x)y′＋q(x)=0 的解法。1694 年，他和約翰·伯努利引進了找等 交曲線或曲線族的問題，并求出了一些特殊問題的解。

通過求解微分方程，萊布尼茨解決了許多具體問題。例如，1686 年， 他解決了這樣的問題：求一條曲線，使得一個擺沿着它作一次完全振動， 都用相等的時間，而無論擺所經曆的弧長怎樣(即等時問題)。他指出，

證明，并認識到了圓函數、三角函數的超越性，弄清了許多超越函數的基本性質。此外，他還考慮過概率方程。這一時期，他還求出了十分重要的曳物線方程：

1691 年，他給出了自達·芬奇時代就考慮過的懸鍊線 (catenary，這個名稱是萊布尼茨給出的)方程為

1696 年，約翰·伯努利提出了著名的最速降線問題： 求從一給定點到不是在它垂直下方的另一點的一條曲線，使得一質點沿這條曲線從給定點 P1下滑所用的時間最短(圖 5)。

其中摩擦和空氣阻力 都忽略。 這是約翰·伯努利向全歐洲數學家發出的挑戰。1697 年，萊布尼茨 和 I．牛頓、G．F．A．洛比達、約翰·伯努利分别解決了最速降線問題，指出這是由方程

表示的上凹的旋輪線，并由此開始了變分法的研究。

4.數學符号、代數

萊布尼茨在微積分方面的貢獻突出地表現在他發明 了一套适用的符号系統。1675 年引入 dx 表示 x 的微分，“∫”表示積分， ddv，dddy 表示二階、三階微分。1695 年左右使用 dm n表示 m 階微分。他比别人更早更明确地認識到，好的符号能大大節省思維勞動，運用符号的技巧是數學成功的關鍵之一。他自覺地和格外慎重地引入每一個數學符号， 常常對各種符号進行長期的比較研究，然後再選擇他認為最好的、富有啟示性的符号。他創設的符号還有

此外還有對數符号、函數符号、行列式符号等等。很多符号的普遍使用與他的提倡和影響密切相關。他還引入了“函數”(function)、“常量” (constant quantity)、變量”(variate)、“參變量”(para-meter)等術語。 在代數學方面，萊布尼茨不僅強調引入符号的重要性，而且還讨論了 負數、複數的性質，認為複數的出現是無害的，斷言複數的對數是不存在的，為此曾在當時的數學界掀起了一場關于負數、虛數的對數之争論。在研究複數時，他還得出過這樣的結論：共轭複數的和是實數。

用一般的複數表示。他把虛數看作是存在(being)與非存在(not-being)的 中介。

在 1678 年以前，萊布尼茨就開始了對線性方程組、行列式的研究， 對消元法從理論上進行了探讨。在1693 年 4 月 28 日緻洛比達的信中他提 出了行列式概念：“我引進方程：

此處，在兩個數碼中，前者表示此數所屬的方程式，後者代表此數所 屬的字母(未知數)。”這樣，他創設了采用兩個數碼的系數記号，為矩陣和行列式一般理論的發展提供了方便的工具。

二進位制

萊布尼茨發明二進位制的時間，大約是在 1672—1676 年的巴黎時期。1679 年 3 月 15 日，萊布尼茨寫了題為“二進位算術”的論文。文中對二進位制進行了相當充分的讨論，與十進位制進行了比較：

給出了将二進位數改寫成十進位制數的法則： 1011000(二進位制)寫成十進位制數就是

下面就是 1679 年 3 月 15 日手稿的一頁(見 183 頁)。

萊布尼茨不僅完整地解決了二進位制的表示問題，而且給出了正确的 二進位制加法與乘法規則。例如，他給出以下這類實例：

1695 年 5 月萊布尼茨與魯道夫·奧古斯特大公的一次談話中，大公對他的二進位制非常感興趣，認為一切數都可由 0 與 1 創造出來這一點，為基督教《聖經》所講的創世記提供了依據。這是因為唯一完美的上帝是從無到有創造了世界，這與一切數的根源來自 0 與 1 的這種體系是對應的。萊布尼茨由此激起熱情，試圖以大公的這一想法來争取人們對他的二進位制的關注。1697 年他在緻大公的信函中，就将他創造設計的象征二進位制的紀念章圖章當作新年禮品奉獻給大公。紀念章正面是大公圖象，背面的設計是這樣的(見圖 7)：水面上籠罩着一片 黑暗，頂部光芒四射——象征創世的故事；中間排列着二進位、十進位制 數字對照表，兩側是加法與乘法的實例。

萊布尼茨希望能用二進位制證明圓周率π的超越性。

1701 年，萊布尼茨将自己的二進制數表給了法國在中國的傳教士白晉，同時又将自己關于二進制的論文送交巴黎科學院，但要求暫不發表。同年 11 月白晉把宋代邵雍(1011—1077)的伏羲六十四卦次序和伏羲六十四方位兩個圖給了萊布尼茨。萊布尼茨對白晉提供的材料欣慰異常，發現中國古老的易圖可以解釋成 0—63 的二進制數表。萊布尼茨因為從二進制數學理解了六十四卦圖(邵雍的六十四卦方圓圖，圖 8)而高興地說：“幾千年來不能很好被理解的奧秘由我理解了，應該讓我加入中國籍吧！”1703 年，他将修改補充的論文“關于僅用 0 與 1 兩個記号的二進制算術的說明，并附其應用以及據此解釋古代中國伏羲圖的探讨”再送巴黎科學院，要求公開發表。自此二進制公之于衆了。

根據上述曆史事實，表明萊布尼茨并不是受易圖的啟發而發明二進制的，而是他發現了易圖結構可以用二進制數學予以解釋。應該說，萊布尼茨的二進制數學能被用來理解古老的中國文化。自他發現了二者之間的這種關系後，在世界範圍内興起了對易學的數理研究，使人們對易學的興趣日增。

萊布尼茨所進行的計算機設計，程序自動化、程序設計的思想，再加 上二進制，為計算機的現代發展奠定了堅實的基礎。 盡管萊布尼茨本人為計算機的設計、二進制的發明感到自豪，但他卻沒有将二進制用于計算機，沒有使二者結合起來。在當時條件下，一個二 進位制的機器隻會增加技術上的困難，隻有随着電子技術的發展，人們才 能将二者有效地結合起來。那種認為他是為計算機而引進二進位制的說法 是違背曆史事實的。

邏輯學

萊布尼茨的邏輯學研究包括兩個方面：數理邏輯與形式邏輯。

數理邏輯 萊布尼茨決心構造一門基本學科，這門學科在某些方面像數學，但也包括傳統邏輯中一些尚未發展的研究内容。他注意到了傳統邏輯與數學的共性，發現邏輯及其詞項、命題和三段論與代數中的字母、方程式和變換，具有某種形式上的相似，因此他決心把邏輯表示成一種演算， 這種演算研究非數量的抽象關系或形式關系，他曾稱之為普遍數學。他希望建立一種哲學語言或普遍語言，這種語言不僅有助于思想交流，而且有利于思想本身。萊布尼茨力圖發明一種對概念進行演算的理論，使得概念也能象數一樣進行代數演算。

1679 年，萊布尼茨開始進行了這方面的研究，他的思想是：每一個簡單的詞項用一個素數表示，每一個合成詞項用素數乘積來表示。如用 3 表示“能思維的”，7表示動物，人是能思維的動物則可用 21表示，寫成 21=3.7。一個全稱肯定命題，如果主項的數能被謂項的數整除，則該命題為真。1686 年，萊布尼茨發展了關于概念相等和概念包含的理論，其中引入了詞項 a，b，c，…，運算符号—(non，表示“非”)。四個關系利用這種演算，他成功地将亞裡士多德的四種類型的一般命題，表示 成了符号公式形式，從而使得用符号表示邏輯命題成為可能。他所考慮的 方案和表達方式是：

萊布尼茨認為，有可能構造一種符号系統，這種系統可以作内涵的解釋也可以作外延的解釋。1690 年他已經引入了概念的加、減法，用以表 示邏輯概念演算及逆運算。他用

表示逆運算，例如 A—B=C，當且僅當 A=B＋C，且 B 和 C 沒有共同的東西。

意義。以 此為基礎，他建立了一套全新的理論體系。他的體系要點主要是公式及一 套關于詞項、命題的定義與演算規則，如 A=B 的定義：詞項是同一的或一 緻的，就是說它們能在任何地方，以一個代之以另外一個而不改變任何命 題的真值。A=B 表示 A 和 B 是同一的。

這種體系在邏輯上是從未有過的，直到約一個世紀以後才由 G．布爾重新給出。可惜的是，萊布尼茨沒有發展和寫出系統的著作，隻留下了大批手稿，其中還有許多是斷簡殘篇，但 D．希爾伯特依然說：“數理邏輯的思想首先是萊布尼茨明顯說出的。”而這種數理邏輯還僅僅隻是萊布尼茨符号語言的一部分。 萊布尼茨符号語言的理想是，使一切推理過程、思維過程、争論過程都像數學一樣能夠計算，甚至能夠交給機器完成。為此，他做了很多工作。

形式邏輯 萊布尼茨在形式邏輯方面的主要工作是，關于判斷的分析理論，在此基礎上的複合概念理論和關于偶然命題的理論，以及“充足理由律”的提出。 他不相信一切論證都可以納入三段論式，因為他了解到條件論證和析 取論證不能還原為三段論形式。對于形式證明，他承認經院哲學争論中使 用三段論可能堕落為蠢笨迂腐的學究，但他認為不能沒有形式化，否則就會喪失嚴格性。但對亞裡士多德的推崇妨礙了他在這方面取得更大的成就。 區分和研究兩類真理：理性的真理(必然性命題)與事實的真理(偶然 性命題)是萊布尼茨整個科學思想體系特别是他的哲學認識論的核心内 容。從邏輯方面他又把必然真理分成原始的真理和推理的真理，并且指出：“推理的真理是必然的，它們的反面是不可能的，事實的真理是偶然的， 它們的反面是可能的。”他又認為推理是建立在兩大原則上的：(1)矛盾原則，憑着這個原則，我們判定包含矛盾者為假，與假的相對立和相矛盾 者為真；(2)充足理由原則，憑着這個原則，任何一件事如果是真實的或實在的，任何一個陳述如果是真的，就必須有一個為什麼這樣而不那樣的充足理由，也許這些理由常常不知道。因此他在邏輯學中引入了“充足理由律”，使之成為與傳統的同一律、矛盾律、排中律相并列的一條基本思維定律。

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