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立體幾何中的折疊問題，在全國卷中考查的并不多，因為全國卷中立體幾何很少出現在壓軸題位置，即便出現該題目，位次也較為靠前，基本上以中下等難度題目為主，但在新高考中，立體幾何中的折疊問題可出現在多選中，而且極有可能出現在多選的最後一個題目裡面，因為多選，所以每個待選項的難度都不會太高，解答時不要誤判或遺漏選項，除了折疊題型，還有立體幾何中動點的軌迹問題，之前給出過一起推送，鍊接為：【Daily selection】立體幾何中的多選題選析。

無論是折疊還是動點軌迹問題，考查的依舊是立體幾何中的常見問題，例如通過平行和垂直的證明來确定動點的軌迹，或以三類空間角的題目出現，此時可求角或求角的最大值，或三類角度比大小，若與長度體積有關的問題時可考查異面直線之間的距離，求體積或高時的轉化法等等，還可能會用到折疊的反面——展開(将立體轉化為平面)，綜合來說此類題目考查的較為細緻，相應的這也會增加了解題時的時間。

關于幾何體的折疊問題，歸納一下可出現以下幾類需要注意的問題：

1.折疊前後，平面變成立體，此時對應的邊長和角度不發生變化。

2.若以某條軸折疊，例如在長方形ABCD中以AC軸折疊，B點變為B'點，此時B’點在底面ADC上投影的軌迹是與AC垂直的線段，這點特别重要，三類空間角都需要确定出折疊後頂點在底面上的投影。

3.以某軸折疊後，頂點的軌迹是什麼？是圓弧？還是沒有規則的軌迹曲線描述？

4.折疊後會形成二面角，線面角，此時二面角和線面角各自的變動區間是什麼？

5.折疊後若出現錐體，那麼錐體的體積最大值如何求，體積最大時對應的錐體外接球的半徑如何求？

與翻折有關的問題解題時經常會用到異面直線之間的距離求法以及用三餘弦定理确定線線角或線面角的大小，給出鍊接：

射影法求異面直線之間的距離

思維訓練10.投影法求異面直線之間的夾角

答疑：三餘弦定理在三類空間角中的應用

下面以十個折疊題目為例，看此類問題的常見題型以及常用的處理方法：

分析：題目很簡單，AC⊥平面OB'D,隻需找出過E點且與平面OB'D平行的平面即可，此時F點的軌迹即為平面與錐體的交線，注意不要忽略的底面上的HG。

分析：證明四點共面或不共面時，可将四點組成兩個三角面，若可找到一條線與其中一個三角面平行或垂直，但這條直線與另一個三角面不平行或不垂直，此時四點不可能共面。對于選項C,底面積為定值，此時面BAE與底面垂直，但高還取決于BE的長度，所以體積不可能是定值，另外二面角B-AE-D為直二面角，此時B點在底面的投影為直線AE與過B點且與AE垂直的直線的交點處。

對于D,這種一條直線在平面上，另外一條不在平面上的題目直接使用三餘弦定理判定即可，因為知道B點在底面上的投影位置，所以BE在底面上的投影線段也能确定出來，隻需要判定BE的投影線和CD能夠垂直即可。

分析：首先确定出A'點在底面上投影的軌迹為線段AF，用三餘弦定理可判定A選項是否能垂直，對于B，沿着DE折疊後，三角形ADE和三角形A'DE全等，長度和角度均不變，三角形MBF和三角形A'DE平行，變成為二分之一，因此MB為定值。

對于D，三棱錐體積最大時高最大，高最大時二面角A'-DE-C為直二面角，确定出外接球的球心位置即可。

分析：本題需要注意B選項，求AC構造直角三角形利用勾股定理即可。

分析：注意A選項，三角形C'DB和三角形CDB全等，∠CDB=30°，在翻折的過程中∠C'DB不發生變化，但DC'與底面的夾角會發生變化，當平面C'DB與底面垂直時，線面角最大，最大值即為角度本身的大小。

容易迷惑的是B選項，因為EF為BC'的一半，為定值，很容易誤把F點當做是以E為圓心的圓上的點，因為CD=CB，翻折軸為BD，所以C'點的運行軌迹為一個圓，F點的運行軌迹也是一個圓，但并不是以E為圓心，F為圓上的點，EF為圓錐的母線長度，若不好理解看下面的三維動圖，其餘選項很容易判定。

分析：B'在底面上的投影為H，則B'H⊥平面ADC，從H點向交線作垂線，垂足為E，鍊接B'E，∠B'EH為所求二面角的平面角，而這一步很多網上的解答都是錯的，一定要知道如何找二面角的平面角，設AH=x，用x表示出EH和B'H即可。

分析：本題目較為簡單，注意B選項，三棱錐是典型的牆角模型，補全為長方體求外接球的半徑即可。

分析：注意C選項和第五題類似，都是當二面角為直二面角時線面角最大，此時可求最大角的正切值，即可确定線面角與60°的大小關系了。

分析：這是典型的浙江的考法，先确定出A'在底面投影的軌迹線段，其中二面角和線線角的大小容易判斷，就是根據三餘弦定理得到的最小角定理，搜索框中搜最小角定理能搜到類似的其他題目，下方給出的過程有點問題，若判斷兩角大小，利用餘弦要确定餘弦值本身的正負，在本題目中當A'點的投影恰好為M點時，此時二面角為90°，A'點投影落在四邊形CDEF中時二面角肯定小于90°,所以不需要再考慮餘弦值為負的情況了，至于解析中給出的二面角的最大性定理，可能很多同學沒有見過，通過解析後面的圖來解釋一下這個定理：

從上圖可知，∠AOB為二面角的平面角，M為交線上的一點，若AM>AO，BM>BO，兩三角形有公共第三遍，從右圖可看出顯然∠AOB>∠AMB,這就是二面角最大性定理最容易理解的解釋方法，所以在本題目中二面角要大于線面角。

分析：本題目用三餘弦定理最容易求最值，C'在底面上的投影為O，BC'在底面上的投影為BO，且BC'已知，已知确定出∠C'BO的餘弦值即可，選取從一點出發的三條線:BC',BO,BD,根據三餘弦定理可用∠C'BD的範圍來确定∠C'BO的範圍，隻需找出∠C'BD的範圍即可。

因為△C'BD為直角三角形，tan∠C'BD=C'D，而C'D=CD，這裡有可能把CD的範圍當成(0,√3)，但是若要保證C'點的投影在AB上，則D點的邊界為∠ABC角平分線與AC的交點處，這樣翻折過去恰好為D點，若CD再小，翻折過去不可能投影落在AB上，隻能落在三角形内部.

綜合以上十個題目來看，幾何體的折疊題目難度并不大，确定出頂點在底面上的軌迹，利用三垂線定理或三餘弦定理可很容易判定出幾何體中的平行垂直關系，折疊體中常見的變量為三類空間角和錐體的高，要學會如何設變量并求出對應角度體積的最值，折疊問題題目較多，以後遇到有價值的題目會繼續給出。

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