根據書的編排,第一冊最後一章講實數集理論,比較枯燥難懂,但是又是前面知識的基石,所以這裡隻稍微帶過,有興趣的根據提示去學習
第1節,實數集的稠密性:
- 兩實數的大小關系的定義與形式構造:通過能唯一表示的無限小數來表示實數并比較大小
- 近似值:包括n位不足近似 和 n位過剩近似
- 近似值的一些性質
- 關于比較兩實數大小的定理
- 實數的稠密性定理及推論
第2節,實數集的完備性
- 區間套定理及推論,是關于閉區間列{[an,bn]}
- Heine-Borel有限覆蓋定理
- Weierstrass聚點定理
- 實數集完備性基本定理的等價性,一些一些定理是等價的,能相互推出
- 1)确界原理;數列極限的基礎
- 2)單調有界定理
- 3)緻密性定理
- 4)柯西收斂準則
- 5)區間套定理
- 6)有限覆蓋定理
- 7)聚點定理
第3節,講上極限與下極限的概念
- 極限點:有限極限點 和 無限極限點
- 極限點充要條件定理
- 定理:任何數列均有極限點
- 定理:有界數列隻有有限極限點,且必有最大極限點和最小極限點
- 上下極限的義
- 定理:任何數列都有上下極限
- 定理:任何有界數列,下極限≤上極限
- 數列極限lim xn = A 的充要條件 xn的上極限=xn的下極限=A
- 數列的上下極限與上下确界的關系定理
- 有限極限的上下極限的充要條件定理
本篇的重點是不定積分
第1節,講原函數與不定積分的概念
- 設f(x)在區間I上有定義,若存在I上的函數Φ(x),使對任意x∈I 有 dΦ(x)=f(x)dx 或 Φ`(x)=f(x),則稱Φ(x)是f(x)在I 上的原函數,f(x)在區間I 上的全體函數稱為f(x)在I 上的不定積分,記作 ∫f(x)dx
- 定理:設Φ(x)是f(x)在區間I上的一個原函數,則對任意實常數C ,Φ(x) C也是f(x)在I上的一個原函數,且{Φ(x) C|C∈R}就是f(x)在I上的全部原函數
- 不定積分運算性質-線性性質:設f(x) ,g(x)在I上都有原函數,α,β為兩任意實常數,則αf(x) βg(x)在I 上也有原函數 且∫[αf(x) βg(x)]dx =α∫f(x)dx β∫g(x)dx
- 基本積分公式,絕大部分都是高中學過的,在此不表
第2節,不定積分的計算,方法定理隻有兩三種,看似簡單,實質上要多練多做才能掌握各種形式不定積分解答步驟
- 第一換元積分法-湊微分法定理:設u=φ(x)在[a,b]上可導,α≤φ(x)≤β ,x∈[a,b],并且g(u)在[α,β]存在原函數G(u),則f(x)=g(φ(x))φ`(x)在[a,b]也存在原函數F(x),且F(x)=G(φ(x)) C ,C是常數
- 第二換元積分法-變量代換法定理:條件太多不詳細列出了,這裡隻列出形式,在滿足相關條件下,∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ`(t)dt = [∫g(t)dt] , t=φ^(-1)(x) = G(φ^(-1)(x)) C
- 分部法求不定積分定理:若u(x) ,v(x)都可導且∫u`(x)v(x)dx 存在,則 ∫u(x)v`(x)dx 也存在,且 ∫u(x)v`(x)dx =u(x)v(x) -∫u`(x)v(x)dx 或 ∫udv = uv - ∫vdu
第3節,有理函數的不定積分,前面的三個定理方法能解決大多數初等函數的不定積分,不過還有些不定積分存在,但是無法用初等函數表示,這就是本節講的有理不定積分
- 有理函數的一般形式:R(x)=P(x)/Q(x)
- 定理:每個真分式 R(x)=P(x)/Q(x) 可以表示成若幹部分分式之和。該定理的證明需要另外兩個引理的引用
- 任何真分式的不定積分最終可以化為如下兩種形式的不定積分:
- 1)∫dx/(x-a)^k = ln |x-a| C ,k=1 ;1/[(1-k)(x-a)^(k-1)] ,k >1
- 2) ∫(Mx N)dx/[(x^2 px q)^k ] ,p^2-4q<0
- 對于形如 ∫dx/(x^2 - a^2) 的形式,套公式使用待定系數法
- 三角函數有理式的不定積分:∫ R(sinx,cosx)dx,通常可使用t=tan(x/2) 這個萬能變換去化簡求取
- 形如R(x,√(ax^2 bx c))的無理根式的不定積分,通常方法是對根式進行配方,然後用三角變換和萬能變換将無理部分變為有理函數來求解。這裡 a>0 ,b^2 - 4ac ≠0。事實上,還可以根據歐拉變換來求解,變換過程為令,√(ax^2 bx c)=√ax±t ,若c>0,還可以令 √(ax^2 bx c)=xt ±√c
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