根據書的編排，第一冊最後一章講實數集理論，比較枯燥難懂，但是又是前面知識的基石，所以這裡隻稍微帶過，有興趣的根據提示去學習

第1節，實數集的稠密性：

• 兩實數的大小關系的定義與形式構造：通過能唯一表示的無限小數來表示實數并比較大小
• 近似值：包括n位不足近似 和 n位過剩近似
• 近似值的一些性質
• 關于比較兩實數大小的定理
• 實數的稠密性定理及推論

第2節，實數集的完備性

• 區間套定理及推論，是關于閉區間列{[an，bn]}
• Heine-Borel有限覆蓋定理
• Weierstrass聚點定理
• 實數集完備性基本定理的等價性，一些一些定理是等價的，能相互推出
• 1）确界原理；數列極限的基礎
• 2）單調有界定理
• 3）緻密性定理
• 4）柯西收斂準則
• 5）區間套定理
• 6）有限覆蓋定理
• 7）聚點定理

第3節，講上極限與下極限的概念

• 極限點：有限極限點 和 無限極限點
• 極限點充要條件定理
• 定理：任何數列均有極限點
• 定理：有界數列隻有有限極限點，且必有最大極限點和最小極限點
• 上下極限的義
• 定理：任何數列都有上下極限
• 定理：任何有界數列，下極限≤上極限
• 數列極限lim xn = A 的充要條件 xn的上極限=xn的下極限=A
• 數列的上下極限與上下确界的關系定理
• 有限極限的上下極限的充要條件定理

本篇的重點是不定積分

第1節，講原函數與不定積分的概念

• 設f(x)在區間I上有定義，若存在I上的函數Φ(x)，使對任意x∈I 有 dΦ(x)=f(x)dx 或 Φ`(x)=f(x)，則稱Φ(x)是f(x)在I 上的原函數，f(x)在區間I 上的全體函數稱為f(x)在I 上的不定積分，記作 ∫f(x)dx
• 定理：設Φ(x)是f(x)在區間I上的一個原函數，則對任意實常數C ，Φ(x) C也是f(x)在I上的一個原函數，且{Φ(x) C|C∈R}就是f(x)在I上的全部原函數
• 不定積分運算性質-線性性質：設f(x) ,g(x)在I上都有原函數，α，β為兩任意實常數，則αf(x) βg(x)在I 上也有原函數 且∫[αf(x) βg(x)]dx =α∫f(x)dx β∫g(x)dx
• 基本積分公式，絕大部分都是高中學過的，在此不表

第2節，不定積分的計算，方法定理隻有兩三種，看似簡單，實質上要多練多做才能掌握各種形式不定積分解答步驟

• 第一換元積分法-湊微分法定理：設u=φ(x)在[a,b]上可導，α≤φ(x)≤β ，x∈[a,b]，并且g(u)在[α，β]存在原函數G(u)，則f(x)=g(φ(x))φ`(x)在[a,b]也存在原函數F(x),且F(x)=G(φ(x)) C ,C是常數
• 第二換元積分法-變量代換法定理：條件太多不詳細列出了，這裡隻列出形式，在滿足相關條件下，∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ`(t)dt = [∫g(t)dt] , t=φ^(-1)(x) = G(φ^(-1)(x)) C
• 分部法求不定積分定理：若u(x) ,v(x)都可導且∫u`(x)v(x)dx 存在，則 ∫u(x)v`(x)dx 也存在，且 ∫u(x)v`(x)dx =u(x)v(x) -∫u`(x)v(x)dx 或 ∫udv = uv - ∫vdu

第3節，有理函數的不定積分，前面的三個定理方法能解決大多數初等函數的不定積分，不過還有些不定積分存在，但是無法用初等函數表示，這就是本節講的有理不定積分

• 有理函數的一般形式：R(x)=P(x)/Q(x)
• 定理：每個真分式 R(x)=P(x)/Q(x) 可以表示成若幹部分分式之和。該定理的證明需要另外兩個引理的引用
• 任何真分式的不定積分最終可以化為如下兩種形式的不定積分：
• 1）∫dx/(x-a)^k = ln |x-a| C ,k=1 ;1/[(1-k)(x-a)^(k-1)] ,k >1
• 2) ∫(Mx N)dx/[(x^2 px q)^k ] ,p^2-4q<0
• 對于形如 ∫dx/(x^2 - a^2) 的形式,套公式使用待定系數法
• 三角函數有理式的不定積分：∫ R(sinx,cosx)dx，通常可使用t=tan(x/2) 這個萬能變換去化簡求取
• 形如R(x,√(ax^2 bx c))的無理根式的不定積分，通常方法是對根式進行配方，然後用三角變換和萬能變換将無理部分變為有理函數來求解。這裡 a>0 ,b^2 - 4ac ≠0。事實上，還可以根據歐拉變換來求解，變換過程為令，√(ax^2 bx c)=√ax±t ,若c>0，還可以令 √(ax^2 bx c)=xt ±√c

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