這期來談談數學方面的話題。歐拉公式被譽為“最美數學公式”，它把e（自然對數的底）、π（圓周率）、i（虛數單位）、整數0和1聯系在一起。

筆者第一次見到這個式子是在科普讀物上。當時最為困惑的一點就是，πi是純虛數，e的πi次方怎麼就變成了一個實數？e、π兩個看似無關的數學常數為何神奇地通過虛數單位i聯系在一起？

事實上，上面提到的公式隻是原始歐拉公式的特殊情況，其原始形式如下圖所示。表面上看，它似乎提供了計算“純虛數次方”的方法。要正确理解歐拉公式，就有必要先理解“虛數次方”的概念（“虛數”默認指純虛數，下同）。

↑↑歐拉公式的原始形式

一個數的“多少次方”的概念最初隻對正整數幂次才有意義。a的n次方（n為正整數）就是n個a相乘：a×a×a×…×a。在不引入新定義的情況下，若n不是正整數，a的n次方就無意義。例如，我們尚不明确“-3個a相乘”或是“1.23個a相乘”的含義。

在數學中，我們之所以能計算非整數次方，是因為人們對定義做了拓展，這帶有人為規定的性質。當然，拓展遵守一個原則：盡量使拓展前的數學性質在拓展後仍适用，類似于軟件的“前向兼容性”。此外，作為新定義，拓展必須建立在已有的定義上，否則就會有模糊性。

作為例子，我們來看看“a的n次方”（簡記為a^n）中的n是如何拓展到負整數的：n為負整數時，記n的絕對值為|n|，則a^n等于a^|n|再取倒數。這一拓展滿足“前向兼容性”，例如(a^n)×(a^m)=a^(n m)這個性質在拓展後仍适用；拓展中的絕對值、倒數運算都是已定義的，沒有模糊性。這樣看，這個拓展是非常自然的。最終，我們把n推廣到了任意實數x。

那麼，我們能否把實數x拓展到虛數情況？為了契合主題，這裡隻考慮e^x。要以“較為自然”的方式把x拓展到虛數，可以考察e^x的幂級數形式，如下：

似乎把上式的x簡單代換為ix，拓展工作就完成了。但要注意的是，e^x原本是定義在x為實數的情況下，因此上式隻對實數情況适用，把x簡單替換為ix得到的“等式”必須理解為仿照e^x幂級數形式人為規定的定義式。

在上圖中，我們特别在等号上加“def”以強調它是定義式。我們可以把等号右邊每一項計算出來，然後把實數部分和虛數部分各自合并，如下圖。

↑↑ e^(ix)的正式定義

我們把上式作為“e的虛數次方”的正式定義。它的右邊隻涉及乘除運算、正整數次方以及無窮級數求和，因此建立在已有定義上。定義式中括号部分剛好就是餘弦、正弦函數的級數形式，從而自然地導出了歐拉公式！利用這點，我們可以證明仍有e^(ix)×e^(iy)=e^(ix iy)，因此這個定義也滿足一定“兼容性”。

根據這些讨論，歐拉公式是e^(ix)的定義式的簡單推論。不難看出，e的“虛數次方”與e的實數次方在定義上有很大差别。此外，“虛數次方”與實數次方并不是完全兼容，比方說，實數情況下有a≠b就一定有e^a≠e^b，這個性質在虛數情況下不适用，一個簡單例子是e^(πi)=e^(3πi)。因此，“虛數次方”并不是好的說法，e^(ix)隻是一個形式記号。在一定意義上，e^(ix)是cos x isin x的簡便記法。

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