數學的基本思想和概念?現代數學因内在的需求而采取了演繹方法，演繹最明顯的特色是，由基本定義與公理出發，經過邏輯推論到所有定理的發展人類去了解事物的表象與本質，在沒有墜入不可知的深淵前，必定會在某些直覺上認為意義相當清晰的概念處停住，這些概念我們稱為基礎概念以後理論發展的過程中，一切概念都要由這些基礎概念定義出來，否則便不能采用在聯系基礎概念的叙述中，又必須挑出最明白的作為出發點，這些叙述我們稱為公理演繹系統中，基礎概念原來的具體内容已抛棄，所以可用其他的具體事物來解釋它，任何這種解釋如果又滿足所有公理，則這套解釋構成原來理論的一個模型演繹的方法可以極大程度的消去我們認識上的不清與錯誤，如果有懷疑的餘地，也都回歸到對基礎概念及公理的懷疑數學基本上處理物體間量的關系以及空間的樣式，而與物體實際的物理性質無關，數學隻在抽象的概念與它們間的關系中發展，數學的論斷不能由實驗中得到，就是量上一千萬個三角形，也不能因而斷言所有三角形三内角和是一百八十度，我來為大家講解一下關于數學的基本思想和概念?跟着小編一起來看一看吧!

數學的基本思想和概念

現代數學因内在的需求而采取了演繹方法，演繹最明顯的特色是，由基本定義與公理出發，經過邏輯推論到所有定理的發展。人類去了解事物的表象與本質，在沒有墜入不可知的深淵前，必定會在某些直覺上認為意義相當清晰的概念處停住，這些概念我們稱為基礎概念。以後理論發展的過程中，一切概念都要由這些基礎概念定義出來，否則便不能采用。在聯系基礎概念的叙述中，又必須挑出最明白的作為出發點，這些叙述我們稱為公理。演繹系統中，基礎概念原來的具體内容已抛棄，所以可用其他的具體事物來解釋它，任何這種解釋如果又滿足所有公理，則這套解釋構成原來理論的一個模型。演繹的方法可以極大程度的消去我們認識上的不清與錯誤，如果有懷疑的餘地，也都回歸到對基礎概念及公理的懷疑。數學基本上處理物體間量的關系以及空間的樣式，而與物體實際的物理性質無關，數學隻在抽象的概念與它們間的關系中發展，數學的論斷不能由實驗中得到，就是量上一千萬個三角形，也不能因而斷言所有三角形三内角和是一百八十度。

自然科學的理論通常都有一定的适用範圍，例如物體在遠低于光速的速度運動時，它的質量可看為常數，但是一旦加速到近于光速時，質量便有顯著的增加。然而數學的理論一旦建立便不再動搖，因為演繹法的每一步推理，都在嚴格的邏輯條件管制下，而又不能引用不曾從基礎概念定義來的概念，所以數學的系統脈絡分明，結論精确不移。唯一可以有懷疑的便是基礎概念與公理，但是人要不落入不可知的深淵，必須接受一些自明的真理，否則便無知識可言，因此數學的基礎是穩固的。現代工程技術日趨精密，使得數據的計算更加繁雜更需精确，譬如在核能工程的設計上，有時小數點後十二位的誤差，都會導緻荒缪的結論。數學的概念是人類活動不斷在人腦留下痕迹，人腦逐步主動反映外在具體事物，分析并推廣無數量的具體經驗，經過漫長歲月發展出來的，因為日漸熟練的運用已有的抽象概念，便再一步推廣與抽象，得到更加深刻的觀念。數學絕非空洞的符号遊戲，它的最終研究對象就是客觀的世界。數學發展的特色之一是建立内在自動推論的機制，譬如算術的推論過程，就是由數本身的代數演算規則完全代替。微積分代替了幾何加上極限這種複雜的推論過程， 且微積分的運算又力求代數化。數學語言由于精簡，一些不是決定性的次要物理内涵不在式子中出現因而減少幹擾。任何一門科學隻有使用了數學，才成其為一門科學，否則就是不完善與不成熟的。

數學概念的内涵曆經滄桑，千錘百煉，每一次變化都使概念更加清晰和更具一般性。例如函數概念，1673年萊布尼茲定義：函數就象曲線上的點的坐标那樣随點的變化而變動。1821年柯西定義：對于X的每個值，如果Y有完全确定的值與之對應，則Y叫做X的函數。近代定義：設有A、B是非空的集合，Ｆ是A到B的一個對應法則，則A到B的Ｆ映射：A→B稱為A到B上的函數。一步一步更簡潔、更具一般性。算術運算起步隻需要有加法的概念，乘是多次加的簡化運算，減是加的逆運算，除是乘的逆運算，這就是四則運算。除法很快導緻了分數的出現，以十、百等為分母的除法，簡化表達就是小數和循環小數。不是擁有錢而是欠人的錢如何表示，這就出現了負數，這些數放在一起就是有理數，可以表示在一個數軸上。後來有人發現，正方形的邊長是1，它的對角線長度就無法用有理數表示，用園規在數軸上找到那個對應點就是無理數的點。1761年蘭伯盧格嚴格證明了π也是一個無理數，這樣把無理數包括之後，有理數與無理數統稱為實數，數軸也稱之為實數軸。後來人們發現，如果在實數軸上随機抽取，得到有理數的概率幾乎是0，得到無理數的概率幾乎是1，無理數比有理數多得多，為什麼會如此，因為這個客觀世界本來就是無理的多過有理的。為了解決負數的開平方，後來出現了虛數，虛軸與實軸垂直交叉形成一個複平面，數也發展成為由虛部和實部組成的複數。變化着的量以及它們間的依賴關系，産生了變量與函數的概念，研究函數的領域叫數學分析，其主要内容是微積分。級數是無窮項數列的求和問題，微分方程的解不是數而是函數。

數學由于符号形式而易于運算和推理，故人們可以暫時撇開符号的意義而僅着眼于形式，當符号與一定的概念單值地對應時，思想的操作可轉換為對符号的操作，而符号的操作可委托機器進行，例如我們通過構造算法程序，把求解問題的創造性工作轉化為非創造性工作之後，也就有可能把運算過程中每前進一步都要有一個确定的必須選擇的下一步這樣一條刻闆的過程交由機器來完成，故人們利用符号借助計算機器便可使複雜繁重的腦力勞動機械化，從而實現智力的解放。以公理化為主的演繹傾向以及以機械化為主的算法傾向往往互為消長，公理化提供了演繹推理的模式和理性證明的手段，從而把數學知識組織成為一個嚴密的邏輯體系。機械化從問題出發，靠實際應用的成功，來保證數學的“可靠性”。

公理化演繹系統的出發點，是一組基本概念和若幹條基本命題，基本概念是對數學實體的高度純化和抽象，基本命題是對基本概念相互關系的制約和規定。亞裡士多德曾提出，公理應為最普遍的真理，歐幾裡德欣然應諾并以此作為劃分公理與公設的依據，他在建立《原本》的公理系統時，依據邏輯相關性先給出點、線、直線、面、平面等一些原始概念的直觀定義，接着又給出由這些原始概念所派生的概念之定義，如兩條直線間的角、直角、平角、圓、直徑等，像這樣一連列出23個定義、5條公設、9條公理。這9條公理可适用于當時一切數學，而5條公設是專門對于幾何學而設立。歐幾裡得以這些定義、公設、公理為基礎，以形式邏輯為工具，演繹出467個定理，築起了一座數學知識的大廈《原本》，《原本》僅手抄本就流傳了1800多年。十九世紀的羅巴切夫斯基提出，可能會存在第五公設不能成立的新幾何系統，一舉而創立了雙曲幾何學；不久黎曼從另一側面否定第五公設發現了橢圓幾何學，這兩種幾何學統稱為非歐幾何學。公理化方法主要功能在于對已積累的大量數學知識進行加工、整理、改造、重建，在通常情況下要解決一個具體問題時，往往需要先從現存的數學寶庫中去搜尋适宜的以某種數學分支所特有的算法技巧為依據的方法，而并非首先求助于某個公理化系統。

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