圓錐曲線的光學性質源于它的切線和法線的性質,因而為正确理解與掌握其光學性質,就要掌握其切線、法線方程的求法及性質。
設P(
)為圓錐曲線
(A、B、C不同時為零)上一定點,則在該點處的切線方程為:
。(該方程與已知曲線方程本身相比,得到的規律就是通常所說的“替換法則”,可直接用此法則寫出切線方程)。
該方程的推導,原則上用“△法”求出在點P處的切線斜率
,進而用點斜式寫出切線方程
,則在點P處的法線方程為
。
1、抛物線的切線、法線性質
經過抛物線
上一點作一條直線平行于抛物線的軸,那麼經過這一點的法線平分這條直線和這一點的焦半徑的夾角。如圖1中
。
事實上,設
為抛物線
上一點,則切線MT的方程可由替換法則,得
,即
,斜率為
,于是得在點M處的法線方程為
令
,得法線與x軸的交點N的坐标為
,
所以
又焦半徑
所以
,從而得
即
當點M與頂點O重合時,法線為x軸,結論仍成立。
所以過M的法線平分這條直線和這一點的焦半徑的夾角。
也可以利用點M處的切線方程求出
,則
,又故
,從而得
也可以利用到角公式來證明
抛物線的這個性質的光學意義是:“從焦點發出的光線,經過抛物線上的一點反射後,反射光線平行于抛物線的軸”。
2、橢圓的切線、法線性質
經過橢圓上一點的法線,平分這一點的兩條焦點半徑的夾角。如圖2中
證明也不難,分别求出
,然後用到角公式即可獲證。
橢圓的這個性質的光學意義是:“從橢圓的一個焦點發出的光線,經過橢圓反射後,反射光線交于橢圓的另一個焦點上”。
3、雙曲線的切線、法線性質
經過雙曲線上一點的切線,平分這一點的兩條焦點半徑的夾角,如圖3中。仍可利用到角公式獲證。
這個性質的光學意義是:“從雙曲線的一個焦點發出的光線,經過雙曲線反射後,反射光線是散開的,它們就好像是從另一個焦點射出的一樣”。
--END--
,
更多精彩资讯请关注tft每日頭條,我们将持续为您更新最新资讯!