高中數學圓錐曲線的弦長-tft每日頭條

高中數學圓錐曲線的弦長

教育更新时间:2025-11-02 22:59:18

高中數學圓錐曲線的弦長（圓錐曲線的光學性質）1

圓錐曲線的光學性質源于它的切線和法線的性質，因而為正确理解與掌握其光學性質，就要掌握其切線、法線方程的求法及性質。

設P（

高中數學圓錐曲線的弦長（圓錐曲線的光學性質）2

）為圓錐曲線

高中數學圓錐曲線的弦長（圓錐曲線的光學性質）3

（A、B、C不同時為零）上一定點，則在該點處的切線方程為：

高中數學圓錐曲線的弦長（圓錐曲線的光學性質）4

高中數學圓錐曲線的弦長（圓錐曲線的光學性質）5

。（該方程與已知曲線方程本身相比，得到的規律就是通常所說的“替換法則”，可直接用此法則寫出切線方程）。

該方程的推導，原則上用“△法”求出在點P處的切線斜率

高中數學圓錐曲線的弦長（圓錐曲線的光學性質）6

，進而用點斜式寫出切線方程

高中數學圓錐曲線的弦長（圓錐曲線的光學性質）7

，則在點P處的法線方程為

高中數學圓錐曲線的弦長（圓錐曲線的光學性質）8

高中數學圓錐曲線的弦長（圓錐曲線的光學性質）9

。

1、抛物線的切線、法線性質

經過抛物線

高中數學圓錐曲線的弦長（圓錐曲線的光學性質）10

上一點作一條直線平行于抛物線的軸，那麼經過這一點的法線平分這條直線和這一點的焦半徑的夾角。如圖1中

高中數學圓錐曲線的弦長（圓錐曲線的光學性質）11

。

高中數學圓錐曲線的弦長（圓錐曲線的光學性質）12

事實上，設

高中數學圓錐曲線的弦長（圓錐曲線的光學性質）13

為抛物線

高中數學圓錐曲線的弦長（圓錐曲線的光學性質）14

上一點，則切線MT的方程可由替換法則，得

高中數學圓錐曲線的弦長（圓錐曲線的光學性質）15

，即

高中數學圓錐曲線的弦長（圓錐曲線的光學性質）16

，斜率為

高中數學圓錐曲線的弦長（圓錐曲線的光學性質）17

，于是得在點M處的法線方程為

高中數學圓錐曲線的弦長（圓錐曲線的光學性質）18

令

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，得法線與x軸的交點N的坐标為

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，

所以

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又焦半徑

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所以

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，從而得

高中數學圓錐曲線的弦長（圓錐曲線的光學性質）24

即

當點M與頂點O重合時，法線為x軸，結論仍成立。

所以過M的法線平分這條直線和這一點的焦半徑的夾角。

也可以利用點M處的切線方程求出

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，則

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，又故

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，從而得

也可以利用到角公式來證明

抛物線的這個性質的光學意義是：“從焦點發出的光線，經過抛物線上的一點反射後，反射光線平行于抛物線的軸”。

2、橢圓的切線、法線性質

經過橢圓上一點的法線，平分這一點的兩條焦點半徑的夾角。如圖2中

高中數學圓錐曲線的弦長（圓錐曲線的光學性質）28

證明也不難，分别求出

高中數學圓錐曲線的弦長（圓錐曲線的光學性質）29

，然後用到角公式即可獲證。

橢圓的這個性質的光學意義是：“從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射後，反射光線交于橢圓的另一個焦點上”。

3、雙曲線的切線、法線性質

經過雙曲線上一點的切線，平分這一點的兩條焦點半徑的夾角，如圖3中。仍可利用到角公式獲證。

高中數學圓錐曲線的弦長（圓錐曲線的光學性質）30

這個性質的光學意義是：“從雙曲線的一個焦點發出的光線，經過雙曲線反射後，反射光線是散開的，它們就好像是從另一個焦點射出的一樣”。

--END--

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