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高中數學圓錐曲線的弦長

教育 更新时间:2025-01-24 17:02:43

高中數學圓錐曲線的弦長(圓錐曲線的光學性質)1

圓錐曲線的光學性質源于它的切線和法線的性質,因而為正确理解與掌握其光學性質,就要掌握其切線、法線方程的求法及性質。

設P(

高中數學圓錐曲線的弦長(圓錐曲線的光學性質)2

)為圓錐曲線

高中數學圓錐曲線的弦長(圓錐曲線的光學性質)3

(A、B、C不同時為零)上一定點,則在該點處的切線方程為:

高中數學圓錐曲線的弦長(圓錐曲線的光學性質)4

高中數學圓錐曲線的弦長(圓錐曲線的光學性質)5

。(該方程與已知曲線方程本身相比,得到的規律就是通常所說的“替換法則”,可直接用此法則寫出切線方程)。

該方程的推導,原則上用“△法”求出在點P處的切線斜率

高中數學圓錐曲線的弦長(圓錐曲線的光學性質)6

,進而用點斜式寫出切線方程

高中數學圓錐曲線的弦長(圓錐曲線的光學性質)7

,則在點P處的法線方程為

高中數學圓錐曲線的弦長(圓錐曲線的光學性質)8

高中數學圓錐曲線的弦長(圓錐曲線的光學性質)9

1、抛物線的切線、法線性質

經過抛物線

高中數學圓錐曲線的弦長(圓錐曲線的光學性質)10

上一點作一條直線平行于抛物線的軸,那麼經過這一點的法線平分這條直線和這一點的焦半徑的夾角。如圖1中

高中數學圓錐曲線的弦長(圓錐曲線的光學性質)11

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事實上,設

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為抛物線

高中數學圓錐曲線的弦長(圓錐曲線的光學性質)14

上一點,則切線MT的方程可由替換法則,得

高中數學圓錐曲線的弦長(圓錐曲線的光學性質)15

,即

高中數學圓錐曲線的弦長(圓錐曲線的光學性質)16

,斜率為

高中數學圓錐曲線的弦長(圓錐曲線的光學性質)17

,于是得在點M處的法線方程為

高中數學圓錐曲線的弦長(圓錐曲線的光學性質)18

高中數學圓錐曲線的弦長(圓錐曲線的光學性質)19

,得法線與x軸的交點N的坐标為

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所以

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又焦半徑

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所以

高中數學圓錐曲線的弦長(圓錐曲線的光學性質)23

,從而得

高中數學圓錐曲線的弦長(圓錐曲線的光學性質)24

當點M與頂點O重合時,法線為x軸,結論仍成立。

所以過M的法線平分這條直線和這一點的焦半徑的夾角。

也可以利用點M處的切線方程求出

高中數學圓錐曲線的弦長(圓錐曲線的光學性質)25

,則

高中數學圓錐曲線的弦長(圓錐曲線的光學性質)26

,又故

高中數學圓錐曲線的弦長(圓錐曲線的光學性質)27

,從而得

也可以利用到角公式來證明

抛物線的這個性質的光學意義是:“從焦點發出的光線,經過抛物線上的一點反射後,反射光線平行于抛物線的軸”。

2、橢圓的切線、法線性質

經過橢圓上一點的法線,平分這一點的兩條焦點半徑的夾角。如圖2中

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證明也不難,分别求出

高中數學圓錐曲線的弦長(圓錐曲線的光學性質)29

,然後用到角公式即可獲證。

橢圓的這個性質的光學意義是:“從橢圓的一個焦點發出的光線,經過橢圓反射後,反射光線交于橢圓的另一個焦點上”。

3、雙曲線的切線、法線性質

經過雙曲線上一點的切線,平分這一點的兩條焦點半徑的夾角,如圖3中。仍可利用到角公式獲證。

高中數學圓錐曲線的弦長(圓錐曲線的光學性質)30

這個性質的光學意義是:“從雙曲線的一個焦點發出的光線,經過雙曲線反射後,反射光線是散開的,它們就好像是從另一個焦點射出的一樣”。

--END--

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