本章的主要内容:

• 回顧指數函數和對數函數的基本知識, 以及兩者是如何相互關聯的;

• e 的定義和性質;

• 如何對指數函數和對數函數求導;

• 如何求解涉及指數函數和對數函數的極限問題;

• 對數函數的微分;

• 指數增長和指數衰變;

• 雙曲函數.

首先需要掌握三點:指數運算法則、對數和指數的關系, 以及對數運算法則.

9.1.1 指數函數的回顧

例如, 數 2^(−5/2) 是一個底數為 2, 指數為 -5/2 的幂. 指數運算法則告訴我們指數函數如何運算的:

至于指數函數的圖像, 可以查看第一章的内容, 跳轉鍊接>>>.

9.1.2 對數函數的回顧

對數(logarithms), 比如想要求解 2^x=7 中的 x , 需要對方程兩邊取對數. 由于左邊的底數是 2, 對數的底就是 2. 于是方程的解就是:

符号解釋:

9.1.3 對數函數、指數函數及反函數

關注兩者的關系, 請直接看下面的動圖圖片吧.

9.1.4 對數運算法則

9.2.1 一個有關複利的問題

更詳細内容請查看《自然常數 E 的故事》文章中的内容, 跳轉鍊接>>>.

注意: 因為以 e 為底的對數是如此常見, 所以經常會用 ln(x) , 而不是 log 表示(讀 x 的自然對數). 底數為 e 的對數稱為自然對數.

9.3 對數函數和指數函數求導

取對數求導法是一個有用的技巧, 可以處理這樣 f(x)^g(x) 這樣底數和指數均為 x 的函數的導數問題. 下面的例子:

自然界中某些情況下, 動物種群的總數會呈現指數增長, 還有物質會有指數衰變, 如放射性衰變可以幫助來确定物質的年齡.

9.6.1 指數增長

假設有一個種群以指數增長. 用符号表示, 設 P 是在時刻 t 時的總數, 并設 k 是增長常數. P 的微分方程為:

9.6.2 指數衰變

自然界中有些元素的原子具有放射性, 一段時間後, 原子核分裂, 它們變成别的元素, 同時釋放出能量.

這裡的 k 是常數, 也就是說 P 的變化率是 P 的負倍數.

還有數量減半的時間長度被稱為原子的半衰期(half-life).

雙曲函數是僞裝的指數函數, 并且在很多方面又和三角函數非常相似.

除了 cosh(x) 雙曲餘弦函數和 sech(x) 雙曲正割函數是偶函數外, 所有的雙曲三)角函數都是奇函數. 這和原來常規的三角函數的情況相同!(本章完)

「予人玫瑰, 手留餘香」

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