1696年6月，著名數學家約翰·伯努利（ Johann Bernoulli ）)在德國一份科學期刊《博學報》（Acta Eruditorum）上發表了以下問題：

在鉛直平面上兩點A，B之間要連一條曲線，使得不受摩擦的質點在重力的作用下沿這條曲線由A運動到B所需要的時間最少？

• 圖1：從A到B，三種可能的最優路徑

下圖顯示了約翰·伯努利和1696年6月用拉丁文在《博學報》上對該問題的表述。

• 圖2

這一數學難題被稱為捷線（最速落徑）。盡管約翰·伯努利自己已經知道如何解決這個問題，但他還是挑戰了歐洲的其他數學家，并給他們6個月的時間來解決這個問題。然而，在那之後，沒有人給出任何答案。就連曆史上最偉大的知識分子之一戈特弗裡德·萊布尼茨（Gottfried Leibniz）也要求延遲最後期限。1697年1月29日下午，艾薩克·牛頓在他的郵件中（一封來自伯努利的信）發現了這個問題。然後，他在夜間解出了這個難題，并以匿名方式寄回了答案。

下面是牛頓手寫的答案。這個故事讓我們對牛頓的天賦有了一些了解，因為約翰·伯努利花了兩周的時間才解出它。

• 圖3：牛頓手寫的捷線問題解決方案。

牛頓手寫解的翻譯是：

從給定點A出發，畫一條平行于水平面的無界直線APCZ，在這條直線上描述任意擺線AQP，在Q點上與直線AB相交（并在必要時延伸），然後另一個擺線ADC的底和高[as AC: AP]應分别為前一個的底和高AB到AQ。這條最近的擺線将穿過B點，成為一條曲線，在這條曲線上，一個重物在自身重量的作用下，最迅速地從A點到達B點。

要了解牛頓對上述解的詳細過程，請私信我。

最速落徑曲線是一條位于二維平面上的曲線，有一個初始點A和一個終點B，僅受重力作用的一個質點從A點到B點時間最短的路徑。

求曲線的問題有以下假設：

• 曲線上沒有摩擦
• 質點開始時是靜止的
• 引力場是常數是g

• 圖4：A和B之間的一條可能路徑Γ

假設解是函數y=y(x)，為了方便起見，我們選擇初始點A =(0,0)。最後一個點定義為B = (a, b)。由于質點最初處于靜止狀态，由能量守恒将得到：

• 式1：能量守恒

然後我們把dt寫成：

• 式2：用x和y表示的無窮小區間dt。

質點從A =(0,0)到B = (a, b)的總時間則為：

• 式3：質點從(0,0)到(a,b)的總時間間隔T。

數學對象T依賴于函數y(x)，因此它被稱為泛函（函數的函數）。泛函隻依賴于（一個或多個）變量，而不依賴于完整的函數。

我們要解決的問題是找出函數y(x)使總時間t最小。為此，我們需要學習一個叫做變分法的數學。

考慮一個函數ψ(x)，ψ滿足以下條件，即ψ(x_0)=y_0和ψ(x_1)=y_1。考慮第二個非常接近第一個的函數，把它寫成:

• 式4：第二個函數，非常接近第一個，u(x)所滿足的條件。

請注意，關于ψ(x)的條件必須滿足上述關于u(x)的條件。

• 圖5：函數ψ(x)和另一個函數。

現在考慮以下函數：

• 式5：一個函數，其被積函數L顯式地依賴于x, y和y'。

注意，通過改變L(x, y, y ')，我們得到了定積分S[y(x)]的不同值。現在我們考慮随ψ(x)變化而變化的L：

• 式6：ψ(x)和ψ ' (x)變化時L的變化。

對兩邊積分，對第二項進行分部積分，利用u(x)所滿足的條件，得到積分S的變化量如下：

• 式7：積分S經過一個小的變化後的變化。

如果S是最小值，δS=0。由于u(x)是任意的，必須有：

• 式8：δS=0的必要條件。

當y(x)等于使L為極值的函數ψ(x)時，括号内的表達式消失。簡化符号，我們得到了著名的歐拉-拉格朗日方程：

• 方程9：歐拉-拉格朗日方程。

我們用它求出式3中最短的時間，其中：

• 式10：式3的被積函數，代入歐拉-拉格朗日方程式。

經過代數的幾步，我們得到以下微分方程及其相應的解：

• 式11：表示擺線的參數方程。

式中k為某常數（依賴于邊界條件），變量的變化如下：

• 式12：用來推導方程式11的變量的改變。

• 圖6：滾動圓周長上的一點産生擺線

這些參數方程描述了一個擺線，它是使T最小化的曲線，如下圖所示。

• 圖7：這個圖顯示了最速落徑的曲線是擺線。

1699年，數學家、自然哲學家、天文學家、發明家、宗教活動家法蒂奧（ Fatio）發表了一篇論文“關于最速落徑曲線的雙重幾何研究”，其中包含了另一種解決捷線問題的方法。

• 圖8：法蒂奧的肖像

大衛·格雷戈裡要求牛頓簡化法蒂奧的解。這一節，我将描述牛頓的解。

• 圖9：牛頓和他發送給大衛·格雷戈裡的解。

在圖10中定義了相關的量。我們首先寫出：

• 圖10：在法蒂奧-牛頓的解中使用的構造

現在，我們從基本運動學得知，下落的質點在x處的速度為：

• 式13：下落質點的速度與高度x有關。

質點沿着ENG移動所需的時間正比于：

• 式14：質點從E到G的時間。

現在定義：

• 式15：R²和S²的定義。

使總的時間t相對于q最小，經過一些簡單的代數運算，我們得到了一個擺線的微分方程，由式11給出。

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