寫在前面

愛因斯坦曾說：“美，本質上終究是簡單性．”樸素、簡單，是其外在形式，隻有既樸實清秀，又底蘊深厚，才稱得上至美．我們在解決數學問題時，也要追求解法之美，既簡潔又突出本質．

一、正多邊形的内角度數

例1：

求正12邊形每個内角的度數．

分析：

看到這個問題，有的同學會想到先根據n邊形的内角和公式(n－2)·180°求出12邊形的内角和，然後除以12．

著名數學家陳省身在北大演講的時候說：三角形的内角和是180°是不好的，應該關注外角和是360°．因為把眼睛盯着内角和隻能得到：

三角形内角和是180°；

四邊形内角和是360°；

五邊形内角和是540°；

......

n邊形的内角和(n－2)·180°．

如果看外角呢？

三角形外角和是360°；

四邊形外角和是360°；

五邊形外角和是360°；

......

n邊形的外角和360°．

這就把多種情形用一個十分簡單的結論概括起來了．用了一個與n無關的常數代替了與n有關的公式，找到了更一般的規律．

如果這道題目，我們直接利用n邊形的外角和360°的結論，題目将會非常簡單．每一個正12邊形的外角為360°/12＝30°，則内角為180°－30°＝150°．這樣計算既簡單又突出本質．

練習1：

如果正n邊形的每個内角為140°，求n的值．

解析：

每個外角的度數為：180°－140°＝40°，

故n＝360°/40°＝9

二、一元二次方程的求根公式

例2：

計算ax²＋bx＋c＝0(a≠0)的解．

分析：

我們再推導求根公式時，通常采用下面的配方法．

由于求根公式的得出，我們能對二次方程和它的求解産生新的認識麼？

我們把每個步驟倒過來寫時，可以發現一元二次方程的新解法．

這種解法更加簡單，而且突出了判别式的由來和本質．

三、反比例函數的形式

例3：

已知點A(n，2)和點B(3，n－2)在反比例函數y＝k/x上，求k．

分析：

我們可以将A、B兩點的坐标代入y＝k/x，得到兩個關于k和n的等量關系．

如果我們把反比例函數的形式進行簡單變形即可得到k＝xy．這種形式更能突出反比例函數的本質和意義：反比例函數的橫縱坐标的乘積是一個定值k．

則易得2n＝3(n－2)＝k，即可方便求出n和k．

練習2：

如圖，矩形ABCD的頂點A，B在x軸的正半軸上，反比例函數y＝k/x在第一象限内的圖像經過點D，交BC于點E．若AB＝4，CE＝2BE，tan∠AOD＝3/4，求k的值．

解析：

根據已知三角函數值，可設點D的坐标為(4a，3a)，則k＝12a²，根據已知線段之間的關系可求出點E的坐标；接下來結合點E在反比例函數的解析式上，解方程求出a的值，進而求出k的值，問題便可解答．

四、二次函數的表達式及面積問題

例4：

分析：

(1)我們知道抛物線與x軸的兩個交點坐标A和B，因此我們可以設抛物線y＝a(x＋1)(x－4)，把C點坐标代入即可求出a＝－1/2．

(2)我們通常會過點P作PF⊥AB于F，然後求出直線CB的表達式及PF與CB的交點坐标，從而通過鉛錘法求出△PBC的面積．

如果我們連接OP，

透過轉化，我們隻需要知道點B、C、P的坐标即可．這樣巧妙避開了引入新的未知點及求BC的表達式，從而使計算更簡單．

歡迎同學們采用轉化的思想來解決第3小問．

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