解題分析:
該題的兩個問,證明面面平行以及求三棱錐體積,均為立體幾何中的常見題目。
- 第一個問,證明面面平行一般有兩種方法。
- 方法一:證明一個平面内相交的兩條直線平行于另一個平面。隻需證明MN ⫽ PD且MB ⫽ DC即可。
- 方法二:證明垂直于兩個平面同時垂直于同一條直線。根據該題的已知條件來看,方法一和方法二均可以證明,但很顯然方法一更簡單一些。需要證明平面PDC和平面NBM同時垂直于AP。
很顯然,方法一相較于方法二更容易,所以推薦大家使用方法一完成證明。
- 第二個問,求三棱錐的體積時,重要的是尋找合适的底面,求出對應的底面積與高值即可。在該題中,有兩個面可以作為底面,分别是面NPM和面NBM。
- 面NBM作為底面時,需要提前證明PN同時垂直于NM和BM,這兩個垂直關系均易得,且底面△NBM為直角三角形,利用三棱錐體積公式容易得出答案。
- 面NPM作為底時,需要證明MB垂直于面APD,仍然十分容易證明,且底面△NPM也為直角三角形,易得三棱錐體積。
素養落地
本題考察了線面位置關系的基本知識以及三棱錐體積公式,在對基本定理理解的基礎上稍加變形,屬于中等偏下難度。要求同學們對基本線面關系及幾何體面積公式熟記于心,對立體圖形有基本的認識,在高考中屬于必須拿分的題目。
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