1、内心
（1）定義：三角形的内心是三角形三條角平分線的交點(或内切圓的圓心)。
（2）三角形的内心的性質
①三角形的三條角平分線交于一點，該點即為三角形的内心
②三角形的内心到三邊的距離相等，都等于内切圓半徑r
③S=r（a b c）/2（r為内切圓半徑）
④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a b-c)/2．
⑤∠BOC = 90° ∠A/2∠BOA=90° ∠C/2 ∠AOC=90° ∠B/2
2、外心
（1）定義：三角形的外心是三角形三條垂直平分線的交點(或三角形外接圓的圓心) 。
（2）三角形的外心的性質
①三角形三條邊的垂直平分線的交于一點，該點即為三角形外接圓的圓心.
②三角形的外接圓有且隻有一個，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的内接三角形卻有無數個，這些三角形的外心重合。
③銳角三角形的外心在三角形内；鈍角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心與斜邊的中點重合
④OA=OB=OC=R
⑤∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA
⑥S△ABC=abc/4R
【經典例題】
解析：連OI,PI,DI,由△OPH的内心為I,可得到∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-1/2(∠HOP ∠OPH)=135°,并且易證△OPI全等△ODI,得到∠DIO=∠PIO=135°，所以點I在以OD為弦，并且所對的圓周角為135°的一段劣弧上；過D、I、O三點作⊙O',如圖，連O'D,O'O,在優弧AO取點P',連P'D,P'O,可得∠DP'0=180°一135°=45°，得∠D0'0=90°，0'0=3√2.
點評：本題考查的是三角形的内切圓與内心，根據題意作出輔助線，構造出全等三角形是解答此題的關鍵。
本題：考查了三角形的内心、外心、旋轉的性質、比例線段等，應用的知識點較多，首先要明确内心是角平分線的交點，三角形内切圓的圓心，它到三角形三邊的距離相等；外心是三邊垂直平分線的交點，三角形外接圓的圓心，反之，到三角形三個頂點距離相等的點就是三角形的外心，做好本題要熟練掌握與圓有關的性質和定理。
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