一、絕對值的幾何意義：

數軸上，表示一個數的點與原點的距離，叫做這個數的絕對值．如數a的絕對值記作|a|，表示數a的點與原點的距離．

例如|3|指在數軸上3與原點的距離，這個距離是3，所以3的絕對值是3。同樣， |-3|指在數軸上表示-3與原點的距離，這個距離是3，所以-3的絕對值也是3。

動圖解析：

絕對值的概念來自于數軸上兩點之間的距離，最後抽象為一個非負數，這就決定了絕對值具有幾何意義和代數意義，絕對值的本質就是兩點間的距離

二、兩點間的距離

在數軸上，一個數到原點的距離叫做該數的絕對值。

但是我們其實可以把|a|看作|a－0|，這樣就能表示為數a的點與數0的點的距離．那麼|a－5|表示什麼呢？千萬别說成數a－5的點與數0的點的距離．而應該看成數a的點與數5的點的距離．不能理解的同學，我們就舉最簡單的例子，數10的點與數5的點的距離是多少，你肯定是知道是10－5，那這裡隻不過把10換成了a而已，如果a比5小，加個絕對值符号，保證距離的非負性即可，這下你明白了吧．那麼|a＋5|表示什麼呢？|a＋5|＝|a－(－5)|，表示數a的點與數－5的點的距離．最後，你能說出|a－b|和|a＋b|的幾何意義嗎？

|a-b|表示數軸上表示a的點和表示b的點的距離。

用幾何畫闆動圖解析如下：

①a＞0，b＞0和a＞0，b=0時，AB=a-b

②a＞0，b＜0時，AB=a-b

③a＞0，b＜0時，AB=a-b

綜上：a＞b時，AB=|a-b|=大數-小數

三、絕對值的典型例題

類型1.絕對值化簡求最值

例1．閱讀材料：我們知道：點A、B在數軸上分别表示有理數a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數軸上A、B兩點之間的距離AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的幾何意義是數軸上表示有理數3的點與表示有理數x的點之間的距離．

根據上述材料，解答下列問題：

（1）若|x﹣3|＝|x 1|，則x＝ _______；

（2）式子|x﹣3| |x 1|的最小值為_________ ；

（3）若|x﹣3| |x 1|＝7，求x的值．

【解答】（1）根據絕對值的意義可知，此點必在﹣1與3之間，故x﹣3＜0，x 1＞0，

∴原式可化為3﹣x＝x 1，∴x＝1；

（2）根據題意，可知當﹣1≤x≤3時，|x﹣3| |x 1|有最小值．

∴|x﹣3|＝3﹣x，|x 1|＝x 1，

∴|x﹣3| |x 1|＝3﹣x x 1＝4；

（3）∵|x﹣3| |x 1|＝7，

若x＞3，則原式可化為（x﹣3） （x 1）＝7，x＝9/2；

若﹣1≤x≤3，則﹣（x﹣3） （x 1）＝7，x不存在；

若x＜﹣1，則﹣（x﹣3）﹣（x 1）＝7，x＝﹣5/2；

∴x＝9/2或x＝﹣5/2．

故答案為：1，4，x＝9/2或x＝﹣5/2．

類型2 絕對值知識的實際應用

例2．為了加強校園周邊治安綜合治理，警察巡邏車在學校旁邊的一條東西方向的公路上執行治安巡邏，如果規定向東為正，向西為負，從出發點開始所走的路程（單位：千米）為：

2，﹣3， 2， 1，﹣2，﹣1，﹣2

（1）此時，這輛巡邏車司機如何向警務處描述他現在的位置？

（2）已知每千米耗油0.25升，如果警務處命令其巡邏車馬上返回出發點，這次巡邏共耗油多少升？

【解答】（1）根據題意得： 2 （﹣3） 2 1 （﹣2） （﹣1） （﹣2）＝﹣3．

由此時巡邊車出發地的西邊3km處．

（2）依題意得：

0.25×（| 2| |﹣3| | 2| | 1| |﹣2| |﹣1| |﹣2| |﹣3|）＝0.25×16＝4，

答：這次巡邏共耗油4升．

類型3 絕對值中數學思想方法

在絕對值的知識點中，蘊含了許多重要的數學思想．

(1)分類讨論思想：絕對值化簡時，要根據被化簡式子的正負性來分類．

在實際解題時，我們通常要去絕對值符号：根據絕對值符号内的代數式的正負，分情況讨論（一般是分大于0，小于0，等于0幾種情況），判斷每一個絕對值符号的正負後再把絕對值符号去掉，去絕對值符号要根據絕對值的代數意義來取正負号。

顯然，在去絕對值符号時，我們需要具備分類讨論的數學思想。正是由于這點，使絕對值的題型成為剛上初中的同學的一個難點。

例3．已知數軸上點A和點B分别位于原點O兩側，點A對應的數為a，點B對應的數為b，且AB＝9．

（1）若b＝﹣6，直接寫出a的值；

（2）若C為AB的中點，對應的數為c，且OA＝2OB，求c的值．

【解答】（1）∵AB＝9，b＝﹣6，而點A和點B分别位于原點O兩側，∴a﹣（﹣6）＝9，∴a＝3，故a的值為3．

（2）∵OA＝2OB，而AB＝9，∴OA＝6，OB＝3，AC＝4.5，

①若A點在原點左側，則C點表示的數為﹣6 4.5＝﹣1.5，

②若A點在原點右側，則C點表示的數為6﹣4.5＝1.5，

故c的值為﹣1.5或1.5．

(2)整體思想：絕對值化簡時，有時需要将被化簡式子看作整體．

例4．已知（|x 1| |x﹣2|）（|y﹣2）| |y 1|）（|z﹣3| |z 1|）＝36，求2016x 2017y 2018z的最大值和最小值

【解答】∵|x 1| |x﹣2|≥3，（|y﹣2| |y 1|）≥3，（|z﹣3| |z 1|）≥4，

又∵（|x 1| |x﹣2|）（|y﹣2| |y 1|）（|z﹣3| |z 1|）＝36，

∴|x 1| |x﹣2|＝3，|y﹣2| |y 1|＝3，|z﹣3| |z 1|＝4，

當|x 1| |x﹣2|＝3時，x最小取﹣1，最大取2，

當|y﹣2| |y 1|＝3時，y最小取﹣1，最大取2，

當|z﹣3| |z 1|＝4時，z最小取﹣1，最大取3

所以2016x 2017y 2018z的最大值為：2016×2 2017×2 2018×3

＝14120，

2016x 2017y 2018z的最小值為：2016×（﹣1） 2017×（﹣1） 2018×（﹣1）

＝﹣6051

(3)數形結合思想：絕對值的幾何意義中，結合數軸來了解，更加簡單易懂．

例5.回答下列問題：

①數軸上表示2和5兩點之間的距離是 ，數軸上表示1和﹣3的兩點之間的距離是 ．

②數軸上表示x和﹣2的兩點之間的距離表示為 ．數軸上表示x和5的兩點之間的距離表示為 ．

③若x表示一個有理數，則|x﹣1| |x 3|的最小值＝________．

④若x表示一個有理數，且|x 3| |x﹣2|＝5，則滿足條件的所有整數x的是_____________ ．

⑤若x表示一個有理數，當x為__________　，式子|x 2| |x﹣3| |x﹣5|有最小值為 _______．

【解答】①數軸上表示2和5兩點之間的距離是5﹣2＝3，數軸上表示1和﹣3的兩點之間的距離是1﹣（﹣3）＝4，故答案為：3，4；

②數軸上表示x和﹣2的兩點之間的距離表示為|x﹣（﹣2）|＝|x 2|，數軸上表示x和5的兩點之間的距離表示為|5﹣x|，

故答案為：|x 2|，|5﹣x|；

③當x＜﹣3時，|x﹣1| |x 3|＝1﹣x﹣x﹣3＝﹣2x﹣2，

當﹣3≤x≤1時，|x﹣1| |x 3|＝1﹣x x 3＝4，

當x＞1時，|x﹣1| |x 3|＝x﹣1 x 3＝2x 2，

在數軸上|x﹣1| |x 3|的幾何意義是：表示有理數x的點到﹣3及到1的距離之和，所以當﹣3≤x≤1時，它的最小值為4，故答案為：4；

④當x＜﹣3時，|x 3| |x﹣2|＝﹣x﹣3 2﹣x＝﹣2x﹣1＝5，解得：x＝﹣3，

此時不符合x＜﹣3，舍去；

當﹣3≤x≤2時，|x 3| |x﹣2|＝x 3 2﹣x＝5，

此時x＝﹣3或x＝﹣2或0或1或2；

當x＞2時，|x 3| |x﹣2|＝x 3 x﹣2＝2x 1＝5，解得：x＝2，

此時不符合x＞2，舍去；

當x＝0時，|x 3| |x﹣2|＝5；

當x＝1時，|x 3| |x﹣2|＝5；

當x＝﹣1時，|x 3| |x﹣2|＝5；

故答案為：﹣3或﹣2或﹣1或0或1或2；

⑤∵設y＝|x 2| |x﹣3| |x﹣5|，

i、當x≥5時，y＝x 2 x﹣3 x﹣5＝3x﹣6，

∴當x＝5時，y最小為：3x﹣6＝3×5﹣6＝9；

ii、當3≤x＜5時，y＝x 2 x﹣3 5﹣x＝x 4，

∴當x＝3時，y最小為7；

iii、當﹣2≤x＜3時，y＝x 2 3﹣x 5﹣x＝10﹣x，

∴此時y最小接近7；

iiii、當x＜﹣2時，y＝﹣x﹣2 3﹣x 5﹣x＝6﹣x，∴此時y最小接近8；

∴y的最小值為7．故答案為：3，7．

狗尾續貂：絕對值知識的易錯點：

1.概念模糊，定義理解不透徹，

如：絕對值是它本身的數是非負數，很多同學潛意識裡會認為是正數，這是典型的概念理解不透徹。

2.去絕對值化簡，一定要把絕對值内的式子可做一個整體；去括号時，括号前面是"—"号，要變号;

3.在解關于絕對值的未知數時，容易丢解或漏解，最簡單的例子|a|=3,a=±3，一定是兩個解！

4.與相反數，倒數混淆：絕對值是它本身的數是非負數；相反數是它本身的數是0，倒數是它本身的數是±1.

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