今年7月，複旦大學上海數學中心的王國祯副教授在國際頂尖數學期刊《數學學報》（Acta Mathematica）在線發表了他與合作者B. Gheorghe、徐宙利的論文《穩定同倫範疇的母體形變的特殊纖維是代數的》（暫譯名）The special fiber of the motivic deformation of the stable homotopy category is algebraic。這是他五年以來在國際頂尖刊物發表的第五篇研究成果論文，也是複旦大學上海數學中心成立以來第六篇登上數學四大頂尖期刊的文章。在文章中，他自己創造“工具”，探索無窮維的拓撲空間，他在站上“巨人的肩膀”前進的過程中，最終計算出數學界學者們“有生之年”的結果。

“數學四大期刊”是國際數學領域四大頂級刊物，刊載數學研究領域的重要突破性成果。1998-2017年，中國數學研究者20年間在四大刊發表98篇論文。今年，複旦大學上海數學中心的陳佳源、沈維孝、王國祯、李駿、周楊已經在“數學四大刊”上連發5篇文章，彰顯了數學中心基礎數學研究的深度和厚度。

繼科學探索獎獲得者沈維孝的報道之後，我們推出“複旦數學家”系列報道，讓大家看到更多在一線做科研的數學家的工作與生活。今天，讓我們聚焦王國祯副教授。

01

剪開那條莫比烏斯帶

“我們可以想象一下，把一條莫比烏斯帶從中間剪開，你将會得到什麼模型呢？大部分人的想法都是沿着紙面的中線剪開，但是，如果你的想象力足夠充分的話，換個角度，你還可以沿着紙片薄薄的側面切開，那又會是什麼情形呢？”

隻有一條邊、一個面的莫比烏斯帶

這是王國祯留給學生的一道課後習題，讓同學們發揮想象力，感受探索空間的奧秘。

“這是一個有趣的數學問題，它不是為了證明什麼，而是想看看不同的操作能夠産生什麼樣有意思的結果。”王國祯說：“當你數學研究走得比較遠時，找問題比做問題更重要。”

對王國祯來說，他的研究工作也是不斷地尋找問題，解決問題。

假如把普通幾何看作硬的乒乓球的話，那麼拓撲幾何空間就像籃球，是軟的。很多普通情況下做不到的事，擁有彈性的拓撲空間就能夠做到。換而言之，能夠自由變換的拓撲空間擁有更多可能性。王國祯的工作，就是盡可能多地推算出這些存在的可能性。

王國祯正在計算

從本科開始，王國祯就對代數拓撲産生興趣。在學習了北京大學範後宏老師的同倫論課程後，他迷戀上了拓撲學獨特的解題方式。“很難的微分方程，基于拓撲的一些特性，可以不用考慮其他細節，得出直觀的解答。我覺得這是一個很神奇的、非常有效的解決問題的方法。”王國祯說。

代數拓撲帶給他看問題的另一個角度。他開始嘗試從側面切開那條莫比烏斯帶。就像魚從小溪遊入了大海，王國祯走進數學廣袤無邊的世界，在不斷思考中前行。

02

創造出“工具”

王國祯所計算的球面同倫群，是數學研究的一個基本問題，也是代數拓撲中的重要問題之一。問題提出一個世紀以來，學界将計算推進到球面的第59個穩定同倫群。王國祯與合作者們突破了60維的難關，将計算推進到第90維、第120維，解決了廣義龐加萊猜想在奇數維情形的最後一個問題。

王國祯發表于數學四大頂刊之一《數學學報》（Acta Mathematica）的最新論文

在最新發布的論文中，他提出了母體（motivic）同倫範疇中的周t-結構。利用該t-結構, 王國祯與合作者證明了複數域上的母體（motivic）形變的特殊纖維是代數的, 以及模τ的母體亞當斯（motivic Adams）譜序列與代數諾維科夫（Novikov）譜序列是同構的。該結果給出了計算球面穩定同倫群的一個全新的計算方法，使球面穩定同倫群的計算順利向百維推進，是同倫論領域的重要突破。

一維、二維的球面尚屬于常見的事物，但三維就已複雜，進入更高的維度。59、60、90、120，這些維度不是簡單的數字，每一維度的計算方法都是本質上完全不同的，需要給出不同的解法。這意味着前人研究成果可提供的借鑒是有限的，不打開新的思路，研究就無法推進。

這個問題的難點在于缺少有效的工具去計算。

王國祯一開始希望能夠寫一個計算機程序，以實現簡單的輔助計算。用傳統C語言所編寫的程序，在運行過程中會産生很多bug，導緻實驗一次又一次失敗。彼時王國祯覺得這并不算什麼，球面同倫群的計算成果有一些周期性的特質，往往幾十年才能實現一次重大突破，學界關于此的研究已有近十年的停滞，挑戰者不斷失敗，他不過是其中之一。

王國祯的草稿

對未知的渴求，讓他陷入沉思，無時無刻不在思考着問題的解決路徑，天花闆、水面、地面都成為了他腦中推演時的草稿紙。偶一間隙獲得靈感，王國祯便可以連續多日算個不停。

“有一天我突發奇想，覺得我是不是應該學習一種新的計算機語言？說不定可以解決我之前的問題。”王國祯回憶道。

于是，他試着用F#語言重新編寫程序。F#語言有着C語言無法比拟的優勢，能夠大大減少運行中的bug，實驗終于成功了。但同時，普通的電腦承載不了越來越龐大的數據，需要性能更強勁的服務器才能繼續運行。然而，當王國祯試圖在高級計算機上運行F#語言程序時，他又遇到了機器無法編譯的問題。

最終，他隻能将F#語言程序重新翻譯回C語言，他驚喜地發現，經過反複的試驗，吸收了數次成功的經驗，程序能夠順利運行了。就這樣，王國祯創造出了新的工具。

工作中的王國祯

通過将計算機的運行結果與合作者阿薩克森（Isaksen）之前的計算結果比對，王國祯與合作者發現，通過計算機生成的代數諾維科夫（Novikov）譜序列的數據與通過經典方法得到的模τ的母體亞當斯（motivic Adams）譜序列的數據完全一緻。這是一個振奮人心的發現，表明了一大類複雜的亞當斯（Adams）微分可以通過計算機完全機械地得到。這是幾十年來拓撲學家夢寐以求的方法。王國祯與合作者進一步研究了母體（motivic）同倫理論，提出來周t-結構的概念，從而在理論上證明了前面的實驗結果。這就給出了一個計算球面穩定同倫群的一個全新的工具。

以此為起點，他與合作者們一起，提出了很多新的工具，在代數拓撲的核心問題上取得了突破。

“我的研究就是建立各種工具，希望能夠應用在同倫群的研究上，從而揭示一些同倫群的規律。”王國祯說。

03

課程《幾何拓撲選講》，

面向“數學英才試驗班”本科生

王國祯這學期開了一門《幾何拓撲選講》的課程，專門面向“數學英才試驗班”的本科生，以培養學生的基礎數學能力。

走進課堂時，他穿着半舊的格子襯衫，隻帶了兩本教科書和一瓶水。

課上，他寫下一段段闆書，講解理論的定義和推導過程，頻頻抛出衍生的課後習題供學生們課後思考，不多時，兩塊黑闆鋪滿筆迹。

王國祯的課堂

同學們已經适應了王老師簡潔而快速的風格，目光往返于黑闆與筆記之間，一時間，教室内悄然無聲。

“王老師的這門課很深奧，他上課經常說‘我們可以想象一下’，但他往往能講得準确而有體系。”2020級數學系本科的孫藝青說：“他也會說一些生動的例子來輔助我們思考，調節課堂氛圍。”

在講到米田引理（Yoneda）時，為了幫助同學們理解事物之間的映射關系，王國祯這麼說：“假設社會上有兩個人，他們兩人的社會關系是完全一樣的，那麼可以看作是同一個人，就像電視劇《白夜追兇》，裡面的雙胞胎扮演了同一個人。”

帶着“培養出未來的數學家”的目标，數學英才班于2020年秋季開班，一年多以來，優秀的師資收獲了學生們的好評。進度快、程度深、内容難，成為了英才班課程的特點。

作為數學英才班的授課老師，王國祯道出了他對學生們的期許。他希望同學們能對數學産生興趣，将來能在數學領域繼續精進最好，就算轉向其他方向，也能通過英才班課程的培養掌握好的基礎。

“數學不僅能影響人的思維方式，也是一項基礎技能。”王國祯說。

04

删繁就簡

畢加索早年的畫複雜而寫實。随着年齡的上升與畫藝的精進，他不斷做減法，讓自己的畫作最終隻留下簡單的幾何形狀。

這與王國祯的思想不謀而合。

代數拓撲深奧而精微，多年的潛心研究使他能夠删繁就簡，将目光鎖定在研究對象必要的元素上。

“數學裡有一個非常重要的思想，就是把不重要的數據、幾何結構忘掉，忘掉的越多越能從嶄新的視角去認識問題。”王國祯說，“研究同倫問題也是一樣，你需要忘掉研究對象的剛性結構，想象它是軟的。”

在王國祯未來的研究中，他計劃解決存在特質的126維同倫群問題，将球面同倫群的問題繼續深入。

摒棄無關要素、抓住核心問題，是數學研究的理想狀态，這也是王國祯努力的方向。

05

應邀在2022年國際數學家大會上作報告

王國祯應邀在明年的國際數學家大會上作45分鐘報告，他将分享名為《球面穩定同倫群與母體同倫論》（Stable homotopy groups of spheres and motivic homotopy theory）的報告，分享自己的球面同倫群研究成果。

國際數學家大會（International Congress of Mathematicians，簡稱ICM），是由國際數學聯盟（IMU）主辦的國際數學界規模最大、最重要的會議，被譽為數學界的奧林匹克盛會。2022年7月6日至14日，大會将于俄羅斯聖彼得堡舉行。大會上，将有約200位數學家受邀作學術報告，分享他們在各自領域中取得的成果與進展。這些報告代表國際數學界最高水平。

讓我們恭喜他，期待他進一步的研究成果。

王國祯

2004-2011年在北京大學就讀，獲學士、碩士學位。

2015年獲得麻省理工學院博士學位。

2015-2016年在哥本哈根大學從事博士後研究。

2016-2018年在上海數學中心從事博士後研究。

2018年，作為青年研究員正式加入上海數學中心。

2020年，晉升為長聘副教授。

組 稿：融媒體中心

文 字：戚心茹

圖 片：受訪者提供、戚心茹

編 輯：徐俊奕

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!