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什麼容器是50克的

生活更新时间:2024-07-24 04:07:55

這是最近看到的一道題目，讓我先具體說下題目要求吧。在内壁表面積一定的情況下，什麼形狀的開口容器可以裝最多的液體。再具體一點，有1000平方米的鐵皮，你可以将它重新熔化成你想要的形狀的頂端開口的容器，無論如何這個容器的内表面面積不變，這個容器最多裝多少體積的水？

試算了兩個形狀，一個是圓柱體，一個是半球形，當然都是頂部有一個水平切口的情況。設表面積為S，體積為V

1）如果是圓柱形，設圓柱的底面半徑為r,高為h

得到

替換h 得到

（1）

(2)結合（1）（2），求導，得到

時候，該圓桶容量最大

#用python畫了個圖像 import math import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt %matplotlib inline S = 1000 PI = 3.14 R = np.linspace(0, math.sqrt(S/PI), 1000) V = R*(S-PI*R**2)/2 plt.plot(R,V,color='red',linewidth=0.5) plt.show()

什麼容器是50克的（什麼形狀的容器最能裝）1

大緻畫了了個圖像，顯示表面積為1000時圓柱容器容積的走勢

2）現在換成球缺或者球型來計算。

球缺的表面積計算公式

(3)

帶入體積計算公式

求導

當

時，

,結合（3），此時 h=r

取得最大容積,此時

随便畫畫圖像

import math import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt %matplotlib inline S = 1000 PI = 3.14 H = np.linspace(0, math.sqrt(S/PI), 1000) V2 = S*H/2 -(PI*H**3)/3 plt.plot(H,V2,color='green',label='$V2$',linewidth=0.5) plt.legend() plt.show()

什麼容器是50克的（什麼形狀的容器最能裝）2

顯示表面積為1000時球缺容積的走勢

可以看到表面積是1000的時候，圓柱體積小于3500，而如果是半球形的，體積為 4206多點。

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