這是最近看到的一道題目,讓我先具體說下題目要求吧。在内壁表面積一定的情況下,什麼形狀的開口容器可以裝最多的液體。再具體一點,有1000平方米的鐵皮,你可以将它重新熔化成你想要的形狀的頂端開口的容器,無論如何這個容器的内表面面積不變,這個容器最多裝多少體積的水?
試算了兩個形狀,一個是圓柱體,一個是半球形,當然都是頂部有一個水平切口的情況。設表面積為S,體積為V
1)如果是圓柱形,設圓柱的底面半徑為r,高為h
得到
替換h 得到
(1)
(2)結合(1)(2),求導,得到
時候,該圓桶容量最大
#用python畫了個圖像
import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
S = 1000
PI = 3.14
R = np.linspace(0, math.sqrt(S/PI), 1000)
V = R*(S-PI*R**2)/2
plt.plot(R,V,color='red',linewidth=0.5)
plt.show()
大緻畫了了個圖像,顯示表面積為1000時圓柱容器容積的走勢
2)現在換成球缺或者球型來計算。
球缺的表面積計算公式
(3)
帶入體積計算公式
求導
當
時,
,結合(3),此時 h=r
取得最大容積,此時
随便畫畫圖像
import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
S = 1000
PI = 3.14
H = np.linspace(0, math.sqrt(S/PI), 1000)
V2 = S*H/2 -(PI*H**3)/3
plt.plot(H,V2,color='green',label='$V2$',linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.show()
顯示表面積為1000時球缺容積的走勢
可以看到表面積是1000的時候,圓柱體積小于3500,而如果是半球形的,體積為 4206多點。
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