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什麼容器是50克的

生活 更新时间:2024-12-23 22:28:08

這是最近看到的一道題目,讓我先具體說下題目要求吧。在内壁表面積一定的情況下,什麼形狀的開口容器可以裝最多的液體。再具體一點,有1000平方米的鐵皮,你可以将它重新熔化成你想要的形狀的頂端開口的容器,無論如何這個容器的内表面面積不變,這個容器最多裝多少體積的水?

試算了兩個形狀,一個是圓柱體,一個是半球形,當然都是頂部有一個水平切口的情況。設表面積為S,體積為V

1)如果是圓柱形,設圓柱的底面半徑為r,高為h

得到

替換h 得到

(1)

(2)結合(1)(2),求導,得到

時候,該圓桶容量最大

#用python畫了個圖像 import math import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt %matplotlib inline S = 1000 PI = 3.14 R = np.linspace(0, math.sqrt(S/PI), 1000) V = R*(S-PI*R**2)/2 plt.plot(R,V,color='red',linewidth=0.5) plt.show()

什麼容器是50克的(什麼形狀的容器最能裝)1

大緻畫了了個圖像,顯示表面積為1000時圓柱容器容積的走勢

2)現在換成球缺或者球型來計算。

球缺的表面積計算公式

(3)

帶入體積計算公式

求導

時,

,結合(3),此時 h=r

取得最大容積,此時

随便畫畫圖像

import math import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt %matplotlib inline S = 1000 PI = 3.14 H = np.linspace(0, math.sqrt(S/PI), 1000) V2 = S*H/2 -(PI*H**3)/3 plt.plot(H,V2,color='green',label='$V2$',linewidth=0.5) plt.legend() plt.show()

什麼容器是50克的(什麼形狀的容器最能裝)2

顯示表面積為1000時球缺容積的走勢

可以看到表面積是1000的時候,圓柱體積小于3500,而如果是半球形的,體積為 4206多點。

,

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