行測最關鍵的是什麼？種種技巧都隻為一個目的——速度

對于數學運算來說，要提速固然要掌握技巧，但更為重要的是要在看到題目之後幾秒内想到解題方法和技巧。

國考為什麼要考數量關系？

不是單純考查計算能力（同樣适合資料分析），而是分析問題本質，選取合适方法高效解決問題的能力。

寫這篇文章，希望能幫助大家學會數學上常用的思想。思想是道，技巧是術。

技巧可以參見之前的文章：

一.轉化與化歸思想

所謂轉化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時，采用某種手段将問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一種方法.一般總是将複雜的問題通過轉化為簡單的問題，将難解的問題通過變換轉化為容易的問題，将未解決的問題變換轉化為已解決的問題.

轉化與化歸的思想方法是數學中最基本的思想方法.數學中一切問題的解決都離不開轉化與化歸，數形結合思想體現了數與形的相互轉化;函數與方程思想體現了函數、方程、不等式間的相互轉化;分類讨論思想體現了局部與整體的相互轉化，以上三種思想方法都是轉化與化歸思想的具體體現.各種變換法、分析法、反證法、待定系數法、構造法等都是轉化的手段.所以說轉化與化歸是數學思想方法的靈魂.

一個正方形中有一内切圓，另一正方形又内接于該圓，問兩個正方形的面積比。

如何轉化？——把握題目本質！

（15吉林-7）王老師在課堂上出了一道加法算式題，張明把個位上的4看成了9，把十位上的8看成了3，結果錯算為118，那麼正确答案是：

A.163 B.150 C.108 D.90

解析：個位看錯導緻結果多加了5、十位看錯導緻結果少加了50，所以正确結果=118 50-5=163，選A

（16江蘇A-11）有A、B、C三支試管，分别裝有10克、20克、30克的水。現将某種鹽溶液10克倒入A管均勻混合，并取出10克溶液到入B管均勻混合，再從B管中取出10克溶液倒入C管。若這時C管中溶液濃度為2.5%，則原鹽溶液的濃度是？

A.60% B.55% C.50% D.45%

假設原鹽溶液裡的濃度為x，可得x×（1/2）×（1/3）×（1/4）=2.5%，解得x=60%，則A

（16江蘇B-6）有兩瓶質量均為100克且濃度相同的鹽溶液，在一瓶中加入20克水，在另一瓶中加入50克濃度為30%的鹽溶液後，他們的濃度仍然相等，則這兩瓶鹽溶液原來的溶度是？

A.36% B.64% C.50% D.60%

解法一：假設原來的溶質為x，可得x/120=（x 15）/（150）=15/30=50%，所以x=120*50%=60，60/100=60%，選D

解法二：混合後的第一瓶到第二瓶相當于加入了30克鹽水、濃度為50*30%/30=50%，混合後的第一瓶的濃度為50%、溶質為120*50%=60克，所以最初的濃度=60/100=60%，選D

（16江蘇A-15）從1開始的自然數在正方形網格内按如圖所示規律排列，第1個轉彎數是2，第2個轉彎數是3，第3個轉彎數是5，第4個轉彎數是7，第5個轉彎數是10…則第22個轉彎數是？

A.123 B.131 C.132 D.133

拐點編号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …

拐點數值 1 2 3 5 7 10 13 17 21 …

1 1 2 2 3 3 4 4

第2個拐彎數=1 （1 1），第4個拐點數=1 （1 1 2 2）…第22個拐點數=1 （1 1 2 2 … 11 11）=1 （11*12）=133，選D

（14國考-64）30個人圍坐在一起輪流表演節目，他們按順序從1到3依次不重複地報數，數到3的人出來表演節目，并且表演過的人不再參加報數，那麼在僅剩一個人沒有表演過節目的時候，共報數多少人次？

A.77 B.57 C.117 D.87

直接分析每次報數分别是多少會非常麻煩，此時我們要運用轉化思想，我們要注意到“圍坐在一起、按順序從1到3依次不重複地報數，數到3的人出來表演節目”，那麼也就是每3次報數産生1個表演人員，而表演人員是已知的，故29*3=87

（11國考-80）一個班的學生排隊，如果排成3人一排的隊列，則比2人一排的隊列少8排；如果排成4人一排的隊列，則比3人一排的隊列少5排，這個班的學生如果按5人一排來排隊的話，隊列有多少排？

A.9 B.10 C.11 D.12

解一：這題的條件“如果排成3人一排的隊列，則比2人一排的隊列少8排；如果排成4人一排的隊列，則比3人一排的隊列少5排”，其實3人一排就是個陷阱，是個幹擾條件。實質就是2人一排比4人一排多13排。

2人一排比4人一排多的人數是25-27 因為必為偶數 故為26 4人一排是13排

解二：設2人一排為x排，最後一排少a人，則4人一排為x-13排，最後一排少b人，

總人數相等，所以有：2x-a=4（x-13）-b，化簡得2x-a=52 b-2a（這裡的2x-a是用前面等式左邊移到右邊并再減去一個a所得到的，為什麼要再減一個a，是因為2x-a表示的是總人數），0≤b≤3，0≤a≤1，得出-2≤b-2a≤3，則50≤2x-a（也就是總人數）≤55

驗證：人數為50時，b=0，a=1，不合題意，因為b=0說明4人一排，最後一排沒有缺人，a=1說明2人一排，最後一排缺1人，矛盾；所以51≤2x-a≤55，所以5人一排的時候排成11排，選C

這題有個啟示：就是題目中的條件不一定都有用，要善于取舍。

（15山東-5）從甲地到乙地111千米，其中有1/4是平路，1/2是上坡路，1/4是下坡路。假定一輛車在平路的速度是20千米/小時，上坡的速度是15千米/小時，下坡的速度是30千米/小時。則該車由甲地到乙地往返一趟的平均速度是多少？

A.19千米/小時 B.20千米/小時 C.21千米/小時 D.22千米/小時

往返一趟，上下坡走的路程相同，

上下坡的平均速度為2*15*30/（15 30）=20=平路的速度，所以全程的平均速度也是20，選B

（07國考-8）一名外國遊客到北京旅遊，他要麼上午出去遊玩，下午在旅館休息；要麼上午休息，下午出去遊玩，而下雨天他隻能一天都呆在屋裡。期間，不下雨的天數是12天，他上午呆在旅館的天數為8天，下午呆在旅館的天數為12天。他在北京共呆了（ ）。

A．16天 B．20天 C．22天 D．24天

不下雨每天在旅館待半天 共12個半天

下雨每天在旅館待2個半天 設下雨天數為x

則12 2x=8 12 x=4

另：比大小法

（13.413聯考-17）一個班有50名學生，他們的名字都是由2個或3個字組成的。将他們平均分成兩組之後，兩組的學生名字字數之差為10.此時兩組學生中名字字數為2的學生數量之差為（ ）。

A.5 B.8 C.10 D.12

解析：兩組學生名字字數之差其實就是兩組名字字數為3的學生數量之差，而這個數字絕對值等于兩組學生中名字字數為2的學生數量之差。

（14山東-61）甲杯中有濃度為20%的鹽水1000克，乙杯中有1000克水。把甲杯中鹽水的一半倒入乙杯中，混合後再把乙杯中鹽水的一半倒入甲杯中，混合後又把甲杯中的一部分鹽水倒入乙杯中，使得甲乙兩杯中的鹽水同樣多。問最後乙杯鹽水的濃度為多少？

A.6% B.7% C.8% D.9%

先考慮溶液，最開始：甲1000，乙1000；第一次：甲500，乙1500；第二次：甲1250，乙750；最後：甲1000，乙1000.

再考慮溶質，最開始：甲200，乙0；第一次，甲100，乙100；第二次，甲150，乙50；最後：甲120，乙80.

剩下就很簡單了。C

（15北京-6）某條道路安裝了60盞功率相同的路燈，如将其中24盞的燈泡換為200瓦的節能燈泡，則所有路燈的耗電量将比之前節約20％。如将所有燈的燈泡換為150瓦的節能燈泡，則耗電量能比之前節約多少？

A、62.5％ B、50％ C、75％ D、64％

解一：假設原來每盞燈的功率為x，可得60x*（1-20%）=36x 24*200，解得x=400，電量節約了（400-150）÷400=62.5%，選A

解二：更換了24盞使得路燈減少了60*20%=12盞，即更換後24盞的功率等于原來（24-12）=12盞的功率，所以原來每盞的功率為400，電量節約了（400-150）÷400=62.5%，選A

(2014河北政法)有甲、乙、丙、丁4人，每3個人的平均年齡加上餘下一人的年齡平均分别為29,23,21和17，這4人中最大年齡與最小年齡的差是（ ）？

A. 14 B. 16 C. 18 D. 20

解一：設四人年齡從小到大分别為a、b、c、d，可得a b c 3d=29*3①、a b 3c d=23*3②、a 3b c d=21*3③、3a b c d=17*3④，四個人年齡裡取3個作和都是3的倍數，說明四個人的年齡對于3同餘，所以其中兩個人的年齡差必為3的倍數，選C

解二：設a b c d=m，依次為m/3 2a/3，m/3 2b/3，m/3 2c/3，m/3 2d/3，則2（a-d）/3=29-17=12 a-d=18

**拆解

(13山東-56）在空間中最多能放置多少個正方體，使得任意兩個正方體都有一部分表面相接觸：

A、4 B、5 C、6 D、7

空間圖形比較難想象，可以先考慮平面圖形。在同一平面上，最多可以同時有3個正方形兩兩相接觸。轉換到空間中，把兩個平面相重合，通過調整正方體的邊長，最多可以放置6個正方體使任意兩個正方體都有一部分表面相接觸，如下面俯視圖所示。

故正确答案為C。

二.有效信息思想

1、抓住關鍵信息

2、排除無效與幹擾信息

3、讀懂題，轉化為解題所需條件

（15河南-14）四個燒杯甲、乙、丙、丁的容量比為3∶4∶8∶10。用甲燒杯裝滿與水比重相同的A溶液倒入丙燒杯後，用水兌滿，然後将混合的溶液例入乙燒杯至滿後，将剩下的部分倒入丁燒杯并用水将丁燒杯注滿，問此時乙燒杯中A溶液的濃度是丁燒杯中的多少倍？

A、2 B、2.5 C、4 D、6

解一：設甲乙丙丁的容量分别為3、4、8、10；甲燒杯中溶質為1.5，倒入丙兌滿水後溶質為1.5、溶液為8；倒入乙裝滿後溶質為0.75、溶液為4；剩下的部分倒入丁兌滿水後溶質為0.75、溶液為10；所以乙丁濃度之比=（0.75/4）:（0.75/10）=2.5，選B

解二：直接考慮丙分倒入乙丁情況，乙濃度不變，至丁等于稀釋了4/10，則濃度比10：4=2.5

(10國考-50）一公司銷售部有4名區域銷售經理，每人負責的區域數相同，每個區域都正好有兩名銷售經理負責，而任意兩名銷售經理負責的區域隻有1個相同。

問這4名銷售經理總共負責多少個區域的業務?

A.12 B.8 C.6 D.4

這題就是角度的選取——每個區域都正好有兩名銷售經理負責，而任意兩名銷售經理負責的區域隻有1個相同。那麼每名經理都管3個區域（與其他任意一名經理都有一個共同區域，而且沒有他能單獨管的）那麼就是4*3/2=6

（08國考-53）為節約用水，某市決定用水收費實行超額超收，标準用水量以内每噸2.5元，超過标準的部分加倍收費。某用戶某月用水15噸，交水費62.5元，若該用戶下個月用水12噸，則應交水費多少錢？（ ）

A．42.5元 B．47.5元 C．50元 D．55元

解法一：如果該用戶15噸水全部都交5元錢/噸，則他應當交75元水費，比實際繳納額少了12.5元。少繳納的12.5元是因為未超出标準用水量的部分每噸少繳納2.5元。因此标準水量為：12.5÷2.5＝5噸。所以應交水費為5×2.5 （12－5）×5＝47.5元。

解法二：本題隻要知道标準用水是多少，然後看用水12噸是否超标，通過解法一可知12噸用水也是超标的，那應當比用水15噸少繳納：3×5＝15元，因此有：62.5－15＝47.5元

（15河北-19）五個互不相同的自然數兩兩相加，隻得到8個不同的結果，分别是15、20、23、25、28、33、38和41，那麼這五個數中最大數與最小數的差是多少？

A.17 B.18 C.19 D.20

解析：令五個數從大到小分别是A＞B＞C＞D＞E，可得A C=38、C E=20，相減可得A-E=18，選B

（14河北政法）甲、乙、丙三人從星期一開始上班，甲每工作3天休息一天，乙每工作5天休息兩天，丙每工作7天休息三天。那麼三人第一次同時休息是在星期幾？

A. 三 B. 四 C. 五 D. 六

解一：以周一作為第一天，甲休息的天數為第4、8、12、16、20天…；乙休息的天數為第6、7、13、14、20、21天…；丙休息的天數為第8、9、10、18、19、20…；所以三人再次休息為第20天，為周六，選D

解二：乙從周一工作、工作5天休息兩天，相當于每周的周六周日休息，則三人同時休息的時間必為周六或周日，選D

三.數形結合思想

數形結合的思想，其實質是将抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合，通過對圖形的認識，數形結合的轉化，可以培養思維的靈活性，形象性，使問題化難為易，化抽象為具體. 通過“形”往往可以解決用“數”很難解決的問題.

主要有幾種模型

（一）線段圖：

1、通過線段長短表示數量大小

2、線段表示事物間聯系（邏輯題中亦可用此法分析）

（07江蘇A-15) A，B，C，D四支球隊開展籃球比賽，每兩個隊之間都要比賽1場，已知A隊已比賽了3場，B隊已比賽了2場，C隊已比賽了1場，D隊已比賽了幾場？

A.3 B.2 C.1 D.0

還有種方法判定，但能否适用取決于選項的設置——因每場比賽在各隊比賽總數中計數2次，所以各隊總比賽數必然為偶數，排除AC，因D至少與A比過一場，排除D。

（15山東-2）乒乓球世界杯錦标賽上，中國隊、丹麥隊、日本隊和德國隊分在一個小組，每兩個隊之間都要比賽1場，已知日本隊已比賽了1場，德國隊已比賽了2場，中國隊已比賽了3場，則丹麥隊還有幾場比賽未比？

A.0 B.1 C.2 D.3

（二）文氏圖

（06國考B-43）某工作組有12名外國人，其中6人會說英語，5人會說法語，5人會說西班牙語；有3人既會說英語又會說法語，有2人既會說法語又會說西班牙語，有2人既會說西班牙語又會說英語；有1人這三種語言都會說。則隻會說一種語言的人比一種語言都不會說的人多（ ）。

A．1人 B．2人 C．3人 D．5人

6 5 5-3-2-2 1=12-X X=2(一種語言都不會說的） 隻會說一種的

12-2-3-2-2 1*2=5 5-2=3所以選C

（10.412聯考-10） 甲乙兩人相約見面，并約定第一人到達後，等15分鐘不見第二人來就可以離去。假如他們都在10至10點半的任意時間來到見面地點，則兩人能見面的概率有多大？

A．37.5% B．50% C．62.5% D．75%

x、y分别代表甲乙到達時間

(15國考-75）某學校組織學生春遊，往返目的地時租用可乘坐10名乘客的面包車，每輛面包車往返的租金為250元。此外，每名學生的景點門票和午餐費用為40元，如果求盡可能少租車，則以下哪個圖形最能反映平均每名學生的春遊費用支出與參加人數之間的關系：

　　A

　　B

　　C

　 D

4 a9 c& r; U) C; f1 t

N; {" s3 P$ H% K; W6 y, C' E. X/ ^

當人數介于1-10之間時、需要1輛面包車，此時人數越多，每名學生的費用越低；當人數為10人時每名學生的費用為（250/10） 40=65元，當人數為11人時、需要兩輛面包車，每名學生的費用為（250*2/11） 40大于65，排除AC；當人數介于11-20之間時，此時人數越多，每名學生的費用越低，橫軸區間段 [ 1-10 ] 和 [ 11-20 ] 應該是等長的，排除D；選B

四、逆向思維

所謂逆向，有兩種：

一是計算過程的逆向；

二是思維方式的逆向(如将提問換個角度看待）。

（11浙江-5）甲、乙各有錢若幹元，甲拿出1/3給乙後，乙再拿出總數的1/5給甲，這時他們各有160元。問甲、乙原來各有多少錢？

Ａ．120元 200元 Ｂ．150元 170元

Ｃ．180元 140元 Ｄ．210元 110元

甲 乙

最後 160 160

乙給之前 320-120=120 160*5/4=200

甲給之前 120*3/2=180 320-180=140

(13山東-57)箱子中有編号1～10的10個小球，每次從中抽出一個記下編号後放回，如果重複3次，則3次記下的小球編号乘積是5的倍數的概率是多少：

A、43.2% B、48.8% C、51.2% D、56.8%

若3次記下的小球編号乘積是5的倍數，則至少有一次需要抽到5或10。其反向為3次抽出的号碼都不是5或10，這種情況的概率為

。故3次記下的小球編号乘積是5的倍數的概率為

。

故正确答案為B。

(14浙江-58)某委員會有成員465人，對2個提案進行表決，要求必須對2個提案分别提出贊成或反對意見。其中贊成第一個提案的有364人，贊成第二個提案的有392人，兩個提案都反對的有17人。問贊成第一個提案且反對第二個提案的有幾人?

　　A.56人 　　B.67人　　C.83人　　D.84人

解一：根據二集合容斥原理公式，可列式為：364 392-兩者都贊同的人數=465-17=448，解得兩者都贊同的人數為364 392-448=308，則贊成第一個提案且反對第二個提案的人數共有364-308=56人，故正确答案為A。

解二：贊成第二個提案的有392人，則反對第二個提案的有465-392人，兩個提案都反對的有17人，則贊成第一個提案且反對第二個提案的有465-392-17 尾數法知A

五、割補法

目的是把不規則圖形轉化為規則圖形，常需用到輔助線。

下圖大圓半徑是8，求陰影部分面積（4個小圓除去重疊部分）

下圖甲和乙都是正方形，BE=6厘米，EF=4厘米。那麼陰影部分ABC的面積是多少平方厘米？

A.20 B.24 C.21 D.18

六、分類讨論思想

所謂分類讨論，就是當問題所給的對象不能進行統一研究時，我們就需要對研究的對象進行分類，然後對每一類分别研究，得出每一類的結論，最後綜合各類的結果得到整個問題的解答.

（16上海B-3）小王打算購買圍巾和手套送給朋友們，預算不超過500元，已知圍巾的單價是60元，手套的單價是70元，如果小王至少要買3條圍巾和2雙手套，那麼不同的選購方式有（ ）種。

A.3 B.5 C.7 D.9

解析：3條圍巾和兩雙手套的總費用=3*60 2*70=320元，還剩下500-320=180元；

60a 70b≤180，有7組解：a=0時，b=0/1/2；a=1時，b=0/1；a=2時，b=0；a=3時，b=0；選C

（12.421聯考-58）某停車場按以下辦法收取停車費：每4小時收5元，不足4小時按5元收，每晚超過零時加收5元并且每天上午8點重新開始計時，某天下午15小時小王将車停入該停車場，取車時繳納停車費65元，小王停車時間t的為：

A. 32＜t≤36小時 B. 37＜t≤41小時 C. 41＜t≤44小時 D. 44＜t≤48小時

關鍵是一不能慌，二不能急，心平氣靜地耐心分段計算

15時到第二天上午8時 共24 8-15=17小時 5個計價周期且過12點 5*5 5=30

剩下35元 正好是最多一天：(24/4)*5 5

所以最多到第三天8時 時間是37＜t≤41

（11.917聯考-64）某市規定，出租車合乘部分的車費向每位乘客收取顯示費用的60％，焦油附加費由合乘客人平攤．現有從同一地方出發的三位客人合乘，分别在D,E,F點下車，顯示的費用分别為10 元、20 元、40元，那麼在這樣的合乘中．司機的營利比正常（三位客人是一起的，隻是分别在上述三個地方下車）多：

A.2 元 B.10 元 C.12 元 D.15 元

合乘其實就是前兩段，顯示10元時，收取3人共10×60%×3=18元；顯示20元時，收取2人共(20-10) ×60%×2=12元；

18 12-20=10

（11.424聯考-48）某公司要買100本便簽紙和100支膠棒，附近有兩家超市。A超市的便簽紙0.8元一本，膠棒2元一支且買2送1。B超市的便簽紙1元一本且買3送1，膠棒1.5元一支，如果公司采購員要在這兩家超市買這些物品，他至少要花多少元錢（ ）

A．183.5 B．208.5 C．225 D．230

分類分段讨論：

1、便簽 A是0.8元一本 B是3元4本 全部到B買劃算 需75元

2、膠棒 A是4元3支 B是1.5元1支 則A劃算 但A不能買到100 所以99支在A買 需132元 剩下1支在B買 1.5元

總共是75 132 1.5

（08國考-51）編一本書的書頁，用了270個數字（重複的也算，如頁碼115用了2個1和1個5，共3個數字），問這本書一共有多少頁？（ ）

A．117 B．126 C．127 D．189

分三種情況讨論

（1）前9頁用去9個數字

（2）10到99頁用去2×90=180個數字

（3）三位數的頁碼用去的數字個數為：270-180-9=81，每頁用去3個數字，因此三位數的頁碼一共有：81÷3=27頁。99 27=126

（14天津-8）小張練習寫數碼，從1,2,3……連續寫至1000多才停止。寫完一數，共寫了3201個數碼。請問，小張寫的最後一個數是多少?( )

　　A.1032 　　B.1056　　C.1072　　D.1077

可從數位計算考慮。當數字為個位數時，共計1-9,9個數碼;當數字為兩位數時，即10-99,90個數字共計180個數碼;當數字為3位數時，即100-999,900個數字共計2700個數碼。此時還剩下數碼3201-2700-180-9=312個。由于已計算到四位數數值，則寫了四位數數字共計312÷4=78個，從1000開始計算，第78個四位數為1077，故正确答案為D。

（07國考-48）把144張卡片平均分成若幹盒，每盒在10張到40張之間，則共有（ ）種不同的分法。

A．4 B．5 C．6 D．7

144=9*16 可拆分為2個3和4個2，其約數必然是m（0,1,2）個3和n（0,1,2,3,4）個2的乘積。

m=0時，n可取4；m=1時，n可取2,3；m=2時，n可取1,2。

共5種。

（10上海-59）如圖所示，某城鎮由6條東西方向的街道和6條南北方向的街道組成，其中有一個池塘，街道在此變成一個菱形的環池大道．現要從城鎮的A處走到B處，使所走的路程最短，最多可以有 種不同的走法

A. 35 B. 36 C. 37 D. 38

要使路程最短，必然經過CF或DE。

A到C有5種；

A到D有10種，E到B有3種，10*3=30；

共有35種。

七、歸納法

歸納論證是一種由個别到一般的論證方法。它通過許多個别的事例或分論點，然後歸納出它們所共有的特性，從而得出一個一般性的結論。

分為完全歸納（枚舉）、不完全歸納和數學歸納法，不完全歸納和數學歸納的區别在于後者有嚴格證明。

（一）完全歸納法（枚舉法）

往往可以用到分類讨論思想。

（09江蘇A-16）整數15具有被它的十位上數字和個位上數字同時整除的性質，則在11和50間具有這種性質的整數的個數有（ ）

A．8個 B．9個 C．12個 D．l4個

分别為：11、12、15、22、24、33、36、44、48。

(14山東-54）某人要從A市經B市到C市，從A市到B市的列車從早上8點起每30分鐘一班，全程行駛一小時；從B市到C市的列車從早上9點起每40分鐘一班，全程行駛1小時30分鐘；在B市火車站換乘需用時15分鐘。如果想在出發當天中午12點前到達C市，問他有幾種不同的乘車方式？

A.3 B.2 C.5 D.4

枚舉法。從A市坐8:00的車去B市，9:00到達B市，9:15等車，可以乘坐9:40或10:20的車到C市；從A市坐8:30的車去B市，9:30到達B市，9:45等車，可以乘坐10:20的車到C市；從A市坐9點的車，10:00到，15分鐘等車，可以坐上10:20的車。隻有4種乘車方式。故正确答案選擇D選項。

（二）不完全歸納法

(11安徽-6）如圖所示為兩排蜂房，一隻蜜蜂從左下角的1号蜂房開始去8号蜂房，假設隻朝右上或右下逐個爬行，則不同的走法有（ ）。

A.16種 B.18種 C.21種 D.24種

1到2 1種

1到3=1到2到3 1到3=1 1=2

1到4=1到2 1到3到4=1 2=3

後面依次是5,8,13,21

（12.421聯考-57）用直線切割一個有限平面，後一條直線與此前每條直線都要産生新的交點第1條直線将平面分成2塊，第2條直線将平面分成4塊。第3條直線将平面分成7塊，按此規律将平面分為22塊需：

　　A. 7條直線 B. 8條直線

　　C. 9條直線 D. 6條直線

遇到這種看似比較複雜的題目，不要慌，情況複雜，我們就從情況簡單的開始分析。

解析：設n條直線把平面切分為a（n）個部分，第n 1條線被n條線截成n 1段。每段把一個封閉區域一分為二，故a（n 1）=a（n） n 1。已知a1=2，a2=2 2=4，a3=4 3=7，a4=7 4=11，a5=11 5=16，a6=16 6=22。因此6條直線将該平面分為22塊。

（11.917聯考-62）一根繩子對折三次後，從中剪斷，共剪成（）段繩子。

A．9 B.6 C．5 D.3

一根繩連續對折N次，從中剪M刀，則被剪成了(2的N次方×M 1)段 這是剪繩公式

其實非常容易理解，一根繩連續對折N次，那麼此時就有2的N次方條繩段，每剪一刀，都會新産生2的N次方*2的斷點，而每新增2個斷點，就新增一條線段。如下圖所示：

（三）數學歸納法

（10.425聯考-10）n為100以内的自然數，那麼能令

被7整除的n有多少個？

A.32 B. 33 C.34 D.35

猜測2的3n次方-1可被3整除

當n=0，n=1時成立，

若n=k時滿足，則2的3k次方=7M 1

2的3（k 1）次方=(7M 1)(7 1)=56M 7 1

（12.421-57）用直線切割一個有限平面，後一條直線與此前每條直線都要産生新的交點第1條直線将平面分成2塊，第2條直線将平面分成4塊。第3條直線将平面分成7塊，按此規律将平面分為22塊需：

　　A. 7條直線 B. 8條直線

　　C. 9條直線 D. 6條直線

遇到這種看似比較複雜的題目，不要慌，情況複雜，我們就從情況簡單的開始分析。

解析：設n條直線把平面切分為a（n）個部分，第n 1條線被n條線截成n 1段。每段把一個封閉區域一分為二，故a（n 1）=a（n） n 1。已知a1=2，a2=2 2=4，a3=4 3=7，a4=7 4=11，a5=11 5=16，a6=16 6=22。因此6條直線将該平面分為22塊。

七、函數與方程思想

函數思想指運用函數的概念和性質，通過類比、聯想、轉化、合理地構造函數，然後去分析、研究問題，轉化問題和解決問題.方程思想是通過對問題的觀察、分析、判斷等一系列的思維過程中，具備标新立異、獨樹一幟的深刻性、獨創性思維，将問題化歸為方程的問題，利用方程的性質、定理，實現問題與方程的互相轉化接軌，達到解決問題的目的.

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