小學裡，我們認識了哪些數？

整數和分數。

整數：1，2，10，0等等。

分數：1/2，2/7，5/6，11/12，0.1，0.33，0.333...等等。

因而，在小學裡，我們把數分成兩類：整數和分數。

小學六年，孩子們接觸到的數，除了圓周率π這個（很獨特的）數以外，就隻有這兩類數了。

no！還有小數，象0.33，還有循環小數，象小數0.333...

yes，但同時我們也知道，有限小數和無限循環小數是可以化為分數的。比如0.33=33/100，0.333...=1/3。因而，有限小數和無限循環小數實際都是分數，隻不過是分數的另外一種形式罷了！

那圓周率π呢？

這個數有點特别，我們知道，圓周率=3.1415926535...小數點後面的數字都是雜亂無章，不循環的，很顯然它是不能化成分數的，因而它是一個另類，既不是整數，也不是分數。我們目前不研究它屬于哪一個類别，暫時把它歸于無限不循環小數，八年級再說。

這樣說來，我們在小學裡辛辛苦苦學了六年，就隻學了兩類數：整數和分數。

到了七年級，我們把數的範圍進行擴展。為了表示一對相反意義的量，我們引進了正數和負數，以及既非正也非負的數0。從而把數分成三類：正數，負數，0。

比如：如果向南走了5km記作 5km，那麼向北走了3.5km，就記作-3.5km，原地不動就記作0km。

這裡， 5就是正數，-3.5就是負數，而0是單獨一類，非正非負。

所以，在小學生眼裡，數分為兩類，不是整數就是分數。二分法，簡單，粗暴。在七年級學生眼裡，數分為三類：正數，0，負數。看問題的方式有點進步，不再是簡單粗暴的二分法，但仍有部分孩子受思維定勢的影響，認為不是正數就是負數，經常把0漏掉。

為減少發生這種情況，在分類引入0時，還是得作一些鋪墊，加深對0的認識。比如：在前面的舉例中， 0.001km和-0.0001km，表示什麼意思？

因而，比0多一點點，就是正數，比0少一點點就是負數。這說明0就是正數和負數的分界點（臨界點），正數的“起點”，負數的“終點”。所以0是單獨的一類數，非正非負。

從數的分類的角度，請你描述下列各數：5，2/7，0.5，-2/3，-13，0。

不同的描述，反映了孩子們對前面所學（數的分類）的理解的不同層次。我通常化分為：及格和優秀兩個等級。比如，

對5的描述，通常有這樣三種描述：5是一個整數；5是一個正數；5既是一個正數又是一個整數，所以5是一個正整數。

這些描述不能以簡單對或錯來評價，都是對的，但是這些描述反映了孩子們看問題的“視角”的差别。很顯然，前面兩種描述的“視角”是單一的，最後一種描述是“多角度”的。

站在小學生的角度，隻能描述為：5是一個整數；站在七年級學生的角度，隻能描述為：5是一個正數；立足當下，回顧以前（第三視角），就可以描述為：5既是一個正數又是一個整數，所以5是一個正整數。

這種看問題“視角”上的差别，終将反映到孩子們以後解決問題能力大小的差别上。此處對數“第三視角”的描述，正是培養孩子們多角度來全面認識事物的能力，而不僅僅是對數作一個分類那麼簡單。以“第三視角”來看問題，就是我們常說的對問題綜合能力，全局觀念。

把這種能力和觀念，用在數的分類上就可以獲得新的認識，原來數的分類還可以進一步細分。

小學裡學的兩類數：整數和分數統稱為有理數。這樣看來，小學六年就隻學了一類數：有理數。

有理數隻是一個新說法，數還是那些數。前面舉例中，除圓周率π以外，都是有理數，但是我們結合前面的分類方法，對有理數進行分類：

站在小學生的角度，有理數分為：整數和分數。

站在七年級學生的角度，有理數分為：正有理數，0，負有理數。

綜合考慮：進一步細分，就可以得到如下圖所示的分類。

對數的認識，數的擴充，數的分類，都是随着孩子們認知水平不斷提升的。七年級引進有理數的概念，擴展了到負有理數（小學裡學了正有理數和0），認識了有理數。這是初中階段第一次擴展數的範圍，八年級将引入無理數的概念，再一次擴展數的範圍。經過這兩次擴展，将數擴展到整個實數範圍。每一次擴展，都将對數重新進行分類，所以學會從不同角度，按照不同标準，看待熟悉事物及其分類，正是在培養孩子們分析和解決問題的能力，而不僅僅是把數分類這麼簡單。

小測試：下圖中的A，B，C，D，E，五個區域各表示什麼的樣數？

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