• 分類讨論思路是初中數學中常用的一種解題思路和方法，在初中數學的代數部分和幾何部分都有所涉及和運用。特别是在一些幾何探究題和動點問題中，經常會運用到分類讨論思路，在中考的壓軸題中，分類讨論思路很常見。
• 在解決等腰三角形的問題中，經常會運用到分類讨論思路。就如我們今天的這道題目，确定等腰三三角形的一條邊，需要要麼在平面直角坐标系的x軸上尋找另外一點，構造等腰三角形。我們知道等腰三角形的邊分為腰和底邊，題目中未明确到底已知邊是腰還是底邊，那麼這個時候就應該進行分類讨論。
• 本篇文章就以這個題目為例來讨論在等腰三角形中如何運用分類讨論思路，思路是什麼，如何才能有序地找到所有的點，并且不重複也不遺漏。

先來看看問題：

• 在平面直角坐标系中，O為坐标原點，點A的坐标（3，1），在X軸上找一點B，使得三角形AOB為等腰三角形，求點B的坐标。

分析題目的條件：

• 已知坐标原點0(0,0)和A(3,1)，要在x軸上尋找另外一點B，滿足三角形0AB為等腰三角形。

• 條件比較簡單，就已知兩個點，要求再在x軸上找一個點，構造等腰三角形。該如何來思考了，點0和點A都是要求的這個三角形的頂底，也就是說現在已知了等腰三角形的一條邊，需要再找出另外一個頂點，構造等腰三角形。

• 題目就轉換為已知邊0A，構造等腰三角形了。在等腰三角形中一定要注意一個知識點，什麼呢？分類讨論。為什麼呢？因為等腰三角形的三邊有兩條腰和一條底邊。如果題目中沒有告訴我們已知邊是底邊還是腰，就需要分不同的情況去分析、讨論，這個題目就是這個思路。

• 經過簡單分析後，我們建立了平面直角坐标系，并且在坐标系中标出了點A的位置，如圖所示：

已知OA邊，但并不知道到底0A邊是底邊還是腰，那就需要分兩種情況去分析和讨論：

• 1、以OA邊為底邊，那麼點B必然在OA的垂直平分線上，在這個題目中也點B就是OA的垂直平分線與X軸的交點；

• 2、以OA為腰，這個時候又得繼續去分類思考：

① 以O為頂點，可以怎麼做呢？以點0為圓心，OA的長為半徑化弧，與x軸的交點即為所求；

② 以A為頂點，可以怎麼做呢？以點A為圓心，AO的長為半徑化弧，與x軸的交點即為所求；

整體來分析，這道題目一共有三種不同的情況。做這道題目關鍵就是要做到不要重複和遺漏，要做到這一點就需要有序讨論和思考。

上面是我們的簡單的分析和思考的過程，下面我們來具體解答，在這個過程中還需要運用到得要三角形、直角三角形、平面直角坐标系的相關知識點，整體來看，有一定的綜合性。

分析解答：

在上面的分析過程中，我們得到這個題目一共有三種不同的情況，那我們就分别來進行運算，找到對應的點B。

剛剛已經分析過了，若以OA邊為底邊，那麼點B必然在OA的垂直平分線上，點B就是OA的垂直平分線與X軸的交點，這是根據等腰三角形的性質得到的。如下圖所示，

找到點B的位置，然後根據等腰三角形的性質及直角三角形的性質結合方程思路和勾股定理進行計算就可以求出點B的坐标。

• 2、以OA邊為腰，且以O為頂點：

以OA為腰且以O為頂點，可以怎麼做呢？

以點0為圓心，OA的長為半徑化弧，與x軸的交點即為所求；如下圖所示：

此時隻要能找出點B的位置，求坐标就比較簡單，先利用勾股定理求出OA 的長度，再結合點B的位置就可以直接寫出點B的坐标，注意有兩個，不要漏掉x軸負半軸上的那個點。

• 3、以OA邊為腰，且以A為頂點：

以OA為腰且以A為頂點，可以怎麼做呢？

以點A為圓心，AO的長為半徑化弧，與x軸的交點即為所求；如下圖所示：

此時隻要能找出點B的位置，求坐标就比較簡單，合點B的位置及等腰三角形的性質就可以直接寫出點B的坐标。

那麼綜上所述，滿足條件的點一共有四個。

再來做一個簡單的總結，本題目中主要考查的是等腰三角形中的分類讨論思路，因為已知邊未定是底邊還是腰，所以需要分不同的情況進行分類讨論。

思考：

如果這個題目的條件稍微做一改變，點B不是在x軸上，而是在坐标軸上的話，滿足條件的點有幾個呢？思考一下，歡迎大家一起交流、讨論和學習。

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