高中數學三角形面積求最值-tft每日頭條

高中數學三角形面積求最值

教育更新时间:2024-12-24 04:28:55

題目：

高中數學三角形面積求最值（初中數學幾何極值）1

高中數學三角形面積求最值（初中數學幾何極值）2

圖1

思路:

△DEF的三個頂點均為動點，先暫時将其中一點E看成定點，按常規思路往下進行。

（1）作點E關于直線AC的軸對稱點E'，關于直線AB的軸對稱點E"，如圖2

高中數學三角形面積求最值（初中數學幾何極值）3

圖2

通過觀察，為使三角形DEF周長最小，點F、D應在直線E'E"上

（2）但是，因實際上點E是動點，故E'E"兩點的位置并未确定，所以需将點E的位置先固定下來

（3）連接AE'和AE",如圖3

高中數學三角形面積求最值（初中數學幾何極值）4

圖3

由已知條件可知，∠E'AE"=90°，AE'=AE"=AE

高中數學三角形面積求最值（初中數學幾何極值）5

∴隻要AE最小，則E'E"最小

（4）在E點運動的過程中，當AE⊥BC時，AE最小

于是本題有了答案。

解：

（1）過A作AE⊥BC交BC于E；過C作CG⊥AB，垂足為G，如圖4

高中數學三角形面積求最值（初中數學幾何極值）6

圖4

高中數學三角形面積求最值（初中數學幾何極值）7

∴CG=AG=4（解直角三角形）

在Rt△CGB中，CG=4，GB =AB-AG=7-4=3

∴CB=5（解直角三角形）

高中數學三角形面積求最值（初中數學幾何極值）8

∴AB·CG=BC·AE

高中數學三角形面積求最值（初中數學幾何極值）9

（2）作點E關于直線AC的軸對稱點E'，作點E關于直線AB的軸對稱點E"，連接E'E"交AC于F，交AB于D，連接DE、DF、EF，如圖5

高中數學三角形面積求最值（初中數學幾何極值）10

圖5

（3） △DEF的最小周長=DE EF DF=E'E"

（4）連接AE'和AE"，如圖6

高中數學三角形面積求最值（初中數學幾何極值）11

圖6

∵E'、E"分别是點E關于直線AC、AB的軸對稱點

∴∠E'AC=∠EAC，∠E"AB=∠EAB，AE'=AE，AE"=AE

∴∠E'AE"=2∠CAB=90°，AE'=AE"=AE

高中數學三角形面積求最值（初中數學幾何極值）12

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