讀這本書的本意是了解一下數學到底是什麼。學生時代學了這麼多年的數學，關于數學到底是什麼這個問題，還是無法回答。這本書給了我答案。

全書隻是粗略的看了一下，書中用于舉例的數學定理的證明我大部分略過，有些是因為看不懂，有些是因為沒耐心看下去。可是這并不影響我對本書的理解，晦澀的證明過程也沒有減弱我對本書的興趣。

讀完本書，收獲滿滿。尤其裡面關于數學教學的一些建議非常有用，以後可以和孩子讨論一下。讀書筆記和感想記錄如下：

1、如何把實際問題提煉為數學問題并解決。

哥尼斯堡七橋問題為例，首先是簡化問題， 把實際問題的自然語言表述，轉化為數學語言的表述。然後是尋找解決方法，從簡單的情形開始，總結規律。然後是 研究的推進，總結出定理。具體應用是“一筆畫圖”的有趣題目。

2數學精神到底有哪些？

• 應用化的精神
• 擴張化、一般化的精神

數學概念的一般化；函數概念的一般化；數學定理法則的一般化；數學分支的一般化。

• 組織化、系統化的精神
• 研究精神，緻力于發明、發現的精神

書本隻告訴我們結論，實際上發現的工程更有意義。這也是數學史的意義所在，也是看數學原著的意義所在。教學中，利用這種自然的發現的過程，啟發式的教學，大有益處。

• 緻力于統一性建設的精神

以數系的建設為例，如何構建整個數系，保持統一和嚴格。

• 嚴密化的精神

實際上，數學的嚴密性是不斷發展的，以前曾經認為的嚴密證明現在看來有漏洞，現在的嚴密也肯能在以後會發現漏洞。這裡需要重點說明：作為教學的數學和作為科學的數學是有區别的。

雖然嚴密行對數學至關重要，但是教學中應當首要考慮到學生領悟發明、發現、研究的精神方法，并以啟發、培養這種精神為主。

• “思想經濟化”的精神

就是說，數學是從最簡單的幾個事實，加上基本的羅輯思維，推導出新的事項。數學體系的構建不允許有邏輯的跳躍，不允許有模棱兩可的事項，所以沒有性質上難以理解的東西。所以數學有兩大特征：

第一個是數學需要循序漸進的學，不能跳躍。第二個是必須熟悉數學的術語和記号，這是數學的語言。

運用術語和記号進行複雜高難度的精神活動對人類發展非常重要。所以要對此進行專門的思維訓練。

二、重要的數學思想

數學的本質在于思考的充分自由

比如，負數，虛數的構建，就是為了讓各種運算無限制地進行。比如，不斷打破傳統數學思想的限制。

極限思想

極限思想對于數學極端重要。比如微積分的構建，就是以此為基礎。

“不定義的術語組”和“不證明的命題組”

以此發展起來的純數學、公裡數學，使數學給世人迄今對數學所持看法完全相反的印象。如羅素所說“數學工作者研究得到的定理，誰也不知道是真還是不真了”

構成現代數學基幹的集合及群的思想

把有限長看做無限長的思想

凱萊以此在歐幾裡得空間建立的了非歐幾裡得空間。

龐加萊的非歐幾裡得空間

愛因斯坦把把我們的空間看做黎曼空間，創立了相對論

把一般的曲線看做直線的思想

高維空間的思想

超窮數的思想

無窮多個大小不同的超窮數

數學的神秘性和數學的美

重要的研究方法和證明方法

教學中需要鍛煉的思考方法：聯想與所給問題的條件和問題要求密切相關的已知定理方法法則，并把問題歸結與這些已知的定理法則。

論證方法的本質，推理方法

數學歸納法的本質：三段式論證法

排中律與數學中的悖論

數學變換與事物本質不變的形态

不能解決甲時，把它轉換為求乙

數學基礎方面發生了根本變化

• 傳統數學主要是數與量
• 既非數也非量的數學

映射幾何學：僅僅用點和直線的位置概念，利用截面和映射的概念建立的幾何學

邏輯代數學：用a.b表示概念或命題。

群論

集合論

拓補學

• 即使是研究數與量，也有着與原來不一樣的性質

非歐幾裡得幾何學，非阿基米德幾何學

• 純數學和公理數學

數學發現的兩大要素

• 輔助學科的發展
• 能看見隐藏在表面的上看來沒有什麼聯系的問題之間的關系

天才就是能夠勝任無限辛勞的能力

龐加萊詳細說明了什麼樣的人可以有數學發現。發現創造的素質，不僅在數學上，而且在一般學科技術和藝術上都是應該視為同一範疇的東西。

愛迪生和歌德的例子說明了自然科學和藝術，以及數學，如果做出成就，需要同樣的素質。

文中還介紹了數學裡的悖論和一些學術上的内容，看不懂，不再細說。

,

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!

查看全部