微積分基本公式知識點?微積分中幾個重要公式的簡易推導（彭彤彬），我來為大家科普一下關于微積分基本公式知識點?下面希望有你要的答案，我們一起來看看吧!

微積分基本公式知識點

微積分中幾個重要公式的簡易推導（彭彤彬）

在數學分析或微積分裡面，有重要常數e，π，有重要的求導，多項式展開式，這些式子是怎麼推導出來的？本文基于極限，導數，積分定義及運算法則，一條龍從頭至尾，将它們推導出來。

可以看出，推導過程比各微積分教材中要簡捷深入得多，即不需要高深的理論基礎，就可得出了微積分中的各重要公式。

寫在此，供各位一賞。

由上知e的重要性，沒有e的定義，第一個不是多項式的函數的導數就求不出來，從而後面的導數公式的推導就不能進行下去。

有了e的定義後，雖說暫時我們不知道e的精确值是多少，但我們可以推出自然對數，以e為底數的指數函數的導數，見上。

由此，結合指對數運算性質及複合函數求導法則，可得到任意指數函數與對數函數的求導公式。見下：

為進一步開展以後推導，我們先由三角形函數定義及有關知識，推導出一個重要的極限值：當自變量趨向于0時，正弦函數與其自變量比值的極限為1。

有了上述重要極限，我們用複數運算，求導，積分等其本定義和運算法則，就可推導出e的ix次方與cosx，sinx之間的關系式，從而得出幾個重要常數0，1，i，e，π之間的著名關系式e的iπ次方與1的和為0。

具體過程見下：

有了上述關系式：

e＾（ix）＝cosx＋isinx，

我們就可用指數表示三角函數，從而利用前面推出的指數函數求導法則，可推導出三角形，函數的求導公式。

具體見下：

可以看出，三角形函數求導公式簡單明了。

我們知道，多項式函數是包含最基本最簡單運算的函數，這樣的函數我們對其認識和把握是相當容易的。

我們就想，指數函數，對數函數，三角函數，它們能否表示成多項式的形式？若能，又有什麼區别？

我們先考慮以e為底數的指數函數分解成多項式，是個什麼情況，能得到什麼結論。

見下：

可以看出，e的x次方，展開成多項式形式時，含有無數多項和。

由此，令x＝1，我們得出了e的精确值的表達式。

利用這個表達式，可以求出e的精确到任意位的近似值。

由這個式子可知，e不能表示為一個分數形式（若将後部帶省略号的一部分去掉，就可以通分變成一個有理數，而這隻是e的近似值），從而知它一定是一個無理數。

有了e＾x的多項式展開式，結合e＾x＝cosx＋isinx，馬上就可以很容易推導出三角函數的多項式展開式。

見下：

推出了上述很多公式和結論，最後我們找一個圓周率π的精确值等式。

我們先求反正切函數導數，并将這個導數結果式展開成多項式形式，然後對其積分，就得到了反正切函數的一個多項式展開式，最後讓x取一個特殊值，得到一個含有π的等式，變形就可以得到π了。

見下：

回顧以上推導内容，可以發現，對數函數的多項式展開式還沒推導出來，要另行推導。有了導數公式，再運用待定系數法，這個推導是不難的。

具體見下：

至于反正弦，反餘弦的多項式展開式，就不再詳述。

至此止。

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