專題 1：數的認識、數的運算、常見的量的内容分析與建議

小學數學數與代數領域涵蓋的内容很豐富，關于數的認識、數的運算、估算和常見的量的内容主要集中在以下四個問題。

1. 如何建立“數”的概念？

2. 如何處理運算教學中的算理與算法的關系？

3. 如何落實新課标對估算的要求？

4. 如何依托現實情境幫助學生體現和理解常見的量。

問題一：如何建立“數”的概念

一、《課标》中“數的認識”有何變化

數的概念是學生認識和理解數學的開始，理解數的意義伴随着學生學習數學的整個過程，從自然數逐步擴展到有理數、實數，學生将不斷增加對數的理解和運用。在小學階段數的認識包括：整數的認識、分數、小數和百分數的認識、負數的認識、數的整除性相關的内容、數的簡單應用等。在教材的安排中， 整數的認識中分為 10 以内認識、 20 以内的認識、 100 以内的認識、萬以内的認識、大數的認識等；分數和小數的認識都為兩個階段、一個是初步的認識，另一個分數和小數的意義。整體來說新課标中對數的認識的要求變化和調整不大，主要有以下幾點，在教學中我們要加以注意。

在數的認識中要關注數的意義、數的表示、數與數的關系、數的應用。其中我們要特别關注數的意義，也就是數的概念的建立。在教學中如何建立數的概念是教學的重點，面對數的認識這一重要内容，我們又該怎樣幫助學生建立清晰的數概念，理解數的意義呢？

二、在建立數概念中要注意的問題

（一） 在整數的認識中要注意的問題

建立正确的數的概念是認數教學的任務，也是學生學習數學的起點 。理解數的意義一般有兩個角度， 一是從數的組成去理解，通過組成理解數的大小和多少，加強對數的感知。二是聯系生活實際來體會 ，通過在具體的現實情境中，理解數在生活實際中的意義，使抽象的數和具體的量有機的結合，進一步理解數的意義。在實際教學中我們要把這兩種方式有機地結合起來 ，這樣 更有利于學生體會數的意義，建立數的概念。

在整數數概念的建立過程中要注意以下幾點：

1. 依托多種形式建立整數數概念 （ 1 ）在具體情境中理解數的意義 學生對數并不陌生，在入學之前，學生已對具體的數有了比較豐富的感知，他們會讀、會寫，會說一些具體的數。我們在教學中就要關注從現實情景抽象出數的過程，例如從具體的 2 匹馬，2 棵樹， 2 頭牛， 2 個人，抽象為 2 這個數。這時用一個數字也是一個特殊的符号來表示數量，已經把具體的單位和這個數量的具體含義去掉，抽象為數“ 2 ”。反過來， 2 可以表示任何具有 2 這樣數量特征的事物，例如 2 隻鉛筆， 2 個人、 2 隻小動物……，随着教學的深入，還要引導學生認識到數的豐富含義，比如 計數的數、數量的數、度量的數和計算的數。

（ 2 ）用操作幫助學生具體感知 自然數的認識的教學重點在于使學生從數量抽象到數， 抽象離不開直觀的支撐和操作，例如：計數器、小棒、圖形等等，讓學生親自的數一數，擺一擺，圈一圈、畫一畫，學生數的過程也是一一對應的過程，同時感受具體的數量。 （ 3 ）多種模型的表征 在數的認識過程中，我們要注意運用多種模型幫助學生理解數的意義建立數的概念，比如說：計數器、數位桶，方格圖、數位順序表等，這樣逐漸建立起抽象的數和現實中的數量之間的關系，并且能夠知道這個大小和現實中的多少之間的關系，這也是數感很重要的本質問題。例如，一位老師在教學《萬以内的數的認識》時，就運用方塊模型幫助學生建立一萬的概念，理解數的意義。 通過方格模型的演示，讓學生體會 10 個一是十， 10 個十是一百， 10 個一百是一千， 10個一千是一萬……，通過幾何圖形的點、線、面、體，使學生在頭腦中建立“一、十、百、千”的映像，同時建立十個千就是一個萬，在學生的頭腦中建立一個清晰的模型“滿十進一”，對于學生理解基數單位和位值制是有很大好處的。

2. 把握核心概念， 重視數位和位置值的理解

為了表示更大的數，數位概念的建立是十分重要的。數位的含意是不同位置上的數字表示不同大小的數，沒有數位的規定就沒有辦法表示更大的數。認識個、十、百、千、萬等不同的數位，理解不同數位上的數字表示不同大小的數，是理解整數概念所必須的。學生必須清楚地了解，同樣一個數字“ 3 ” ，在個位上表示 3 個一；在十位上表示 30 ，即 3 個十；在百位上表示 300 ，即 3 個百。第一學段完成整數萬級的認識，第二學段認識萬以上的數，進而整理十進制計數法。我國的計數單位是每四位一級，萬以内數的個位、十位、百位、千位為個級，學生理解各級上的每個數字的意義，這是理解多位數各個數位上的數字意義的前提條件。我國計數單位是四位一級，在國際上普遍使用的是三位一級，在學習時可以讓學生了解。在曆史上，曾經出現過以 2 、 3 、 4為原始的數基，比較多的是以 5 、 20 、 60 為數基，即五進制、二十進制、六十進制。當然，最多的是以 10 為數基，即現在世界各國通用的十進制，即 重要的“滿十進一”的方法。

在古代文明中，世界各國大多數都是采用十進制，例如中國、古羅馬。但十進位記數法，離十進位值制還有關鍵的一步“位置值”制要走。所謂“位值制”，是指相同的計數符号由于所處的位置不同可以表示大小不同的數目。有了位值制，就可以用有限的數字表示出無限的自然數，這是記數曆史上的一個創造，一個奇迹。因此馬克思在他的《數學手稿》一書中稱十進位值制記數法為“最妙的發明之一”。

（ 1 ）重視 10 的概念的建立 一個 十 和幾個 一 是十幾 ， 這就是位值制的基礎 ， 這樣 10 個數字就可以表示出生活中無限多的物。教學中建立好概念非常重要。在教學 10 的認識時要讓學生親自感受到由 9 再加 1變成 10 的過程，可以通過數、擺、捆、撥、說等活動，讓學生感受 10 個一是 1 個十。在 11-20 各數的認識中仍然要關注 10 的概念的建立，讓學生體會滿十進一的過程。

（ 2 ）重視數計數單位

為幫助學生了解十進制計數法 和位值制。要重視數計數單位 逐步建立新的計數單位，10 個一是 1 個十，10 個十是一百，10 個百是一千，10 個千是一萬，10 個萬是十萬，10 個十萬是一百萬，10 個百萬是一千萬，從而引出新的計數單位十萬，在一個單位、一個單位的數的活動中，學生充分體會每數滿 10 個單位就産生一個新的計數單位，感受了兩個相鄰計數單位間的進率是十。

（ 3 ）重視數位順序表的使用 随着認識的數越來越大教師應不斷擴充完善數位順序表，從識 20 以内 的數起就讓學生了解個位和十位，認識百以内數時補充認識百位，在認識萬以内數的時候第一次出現了數位順序表，在認識整數的最後一個單元裡學生将認識萬級和億級的數以及比億更大的數。數位順序表可以分兩次擴展，先擴展到萬級，再擴展到億級。數位順序表有助于學生了解十進制計數法，理解數的意義并掌握讀、寫數的方法。

3. 關注對大數的感受

在第一、二學段都提出感受大數意義和對大數進行估計的要求。第一學段是要求在生活情境中感受大數的意義，第二學段情境的範圍有所擴大，要求在現實情境中感受大數的意義。其本質是相同，都是希望通過具體的情境對大數加以感受，增加學生的數感。感受大數與情境的具體内容有關， 1200 張紙大約有多厚？你的 1200 步大約有多長？1200 名學生站成做廣播操的隊形需要多大的場地？這些具體的情境學生可以通過實際操作和觀察感受。有時還要加入想象的成份， 1200名學生需要多大場地，許多學校可能沒有這麼多人，學生就需要了解自己的學校有多少人，占多大地方，再想象 1200 人會占多大地方。

這個抽象過程在小學一年級開始認識數時就強調，直到認識較大的數。學生逐漸認識數的抽象表示，逐步建立數概念。

（二）在建立分數概念中要注意的問題

教師在數的認識的教學中 普遍認為分數的認識是數認識教學中的一個難點。分數起源于分，當平均分出現不是整數結果的時候，逐漸有了分數的概念。後來，在土地測量、産品分配等過程中, 常常得到不是整數的結果，便産生了分數。分數的産生經曆了一個漫長的過程，分數的真正來源在于自然數除法的推廣。

1. 加強對分數豐富意義的理解 教師要了解分數意義的多重多元性，才能引導學生深刻理解分數的意義。對分數意義的理解應關注以下兩個主線和四個層面：兩個主線即“比的線索”和“數的線索”。“比”指的是一部分與另一部分之間的關系；“數”指的是以有理數形式出現的分數，此時的分數表現的是一個結果。

分數意義理解的四個層面

“比率” 是指部分與整體的關系和部分與部分的關系。其中部分與整體的關系更多地體現在真分數的含義中。例如一個圓平均分成 4 份，每一份是整體的 。又例如，長方形中的一部分是整個長方形的整體圖形的面積應該是多少？顯然，整體圖形的面積應該是這樣的三份。這裡的 和 所反映的就是取的份數與整體份數之間的關系。而部分與部分之間的關系更多地表現為是一種“記号”。例如小紅有 5 個蘋果，小麗有 3 個蘋果，小紅的蘋果是小麗的 5／3倍。對比率維度的理解，可以幫助學生完成對分數的基本性質以及通分、約分等相關知識的正确認識。

“度量” 指的是可以将分數理解為分數單位的累積。例如 3／5裡面有 3 個1／5 ，就是用分數 作為單位度量 3 次的結果。著名數學家華羅庚曾經說過：“數起源于數，量起源于量。”對度量維度的研究，可以大大豐富學生對分數的認識。度量維度的體驗也可以直接作用于分數加（減）法的學習中。

“運作” 主要指的是将對分數的認識轉化為一個運算的過程。例如，求 6 張紙的 2／3是多少張紙，學生将 理解為整體 6 張紙的 2／3，即将 6 張紙這個整體平均分成 3 份，取其中的 2 份，列出算式就是 6 ÷ 3 × 2 ，也就是 6 × 2/3。

“商” 這個維度主要是指分數轉化為除法之後運算的結果，它使學生對于分數的認識由“過程”凝聚到“對象”，即分數也是一個數，也可以和其他數一樣進行運算。 以上這四個維度沒有先後之分，主次之别，它們對學生多角度認識分數都發揮着重要的作用。它們相輔相成，共同承擔着學生對于分數内涵豐富性認識的建構。

2． 利用多種模型幫助學生理解分數的意義

在小學階段教材中往往以學生熟悉的日常事物與活動為模型，建立分數的概念。例如把一個月餅平均分為兩份，其中的一份是 1／2個，把一張紙平均分為為四份其中的一份是1／4 ，這僅僅是從“面積模型”的角度來理解分數，學生理解分數可以借助于多種“模型”。

（ 1 ）分數的面積模型：用面積的“部分—整體”表示分數

兒童最早是通過“部分—整體” 來認識分數，因此在教材中分數概念的引入是通過“平均分”某個“正方形”或者“圓”取其中的一份或幾份（塗上“陰影”）認識分數的，這些直觀模型即為分數的“面積模型”。

（ 2 ）分數的集合模型：用集合的“子集—全集”來表示分數

這是“部分—整體”的另外一種形式，與分數的面積模型聯系密切，但學生在理解上難度更大，關鍵是“單位 1 ” 不再真正是“ 1 個整體”了，而是把幾個物體看作“ 1 個整體”，作為一個“單位”，所取的“一份”也不是“一個”，可能是“幾個”作為“一份”，例如，把 4 個桃子看作“單位 1 ” 平均分成 2 份，每份 2 個占整體的 。分數的集合模型需要學生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多個”看作“整體 1 ”。（ 3 ） 分數的“數線模型”：數線上的點表示分數

3. 把握好每一階段完成的任務 在小學階段，對于分數意義的學習，教材一般“顯性”地分為兩個階段：第一學段分數的初步認識和第二階段分數的意義。但實際上，基于對于分數意義内涵豐富性的理解，我們逐步認識到，對于分數意義的學習，決不是一兩次教學所能全部承載和實現的，需要通過系列設計，逐步滲透、多維度建立，将教材中的“顯性”和“隐性”結合起來。我們應該如何把握每一階段的教學呢？

第一階段：認識平均分。

第二階段：在分數的初步認識教學中，幫助學生初步建立部分與整體關系的認識，感受分數。

第三階段：在分數意義和分數基本性質的教學中，重點使學生發展對于分數理解的比率、度量的維度。

第四階段：在分數與除法關系的教學中，重點使學生發展對于分數理解的運作、商的維度.

第五階段：在分數的運算及解決問題的教學中，鼓勵學生綜合運用對于分數意義理解的多個維度。 必須指出的是，這五個階段不是相對孤立的，更不是線性排列的，不能僵化地理解為到了某一階段就必須或者隻能達成對某維度的學習，其他維度将不再涉及。這四個階段在完成對分數意義豐富認識方面各有側重，相互滲透，相互補充，共同幫助學生實現對分數意義理解的不斷發展和整體建構。總之分數的認識是一個循序漸進的過程，需要系統的進行教學設計，才能使學生真正理解熟練運用。

（三）在建立小數數概念中要注意的問題

在分數初步認識學習的基礎上，教材安排了小數的初步認識。小數的出現标志着十進制記數法從整數（自然數）擴展到了分數，使分數與整數在形式上獲得了統一。由此可見小數和整數、分數有着密切的聯系。

1. 利用知識遷移建立小數概念

分數的學習對小數的學習特别是小數意義的理解有直接顯著的影響 ， 後者的學習對前者也有促進作用， 例如 8 分米是十分之八米是學生已有的知識 ， 隻要通過提問 ， 引起學生的回憶和思考 ， 還可以寫成 0.8 米 ， 也就是同一對象的兩種不同形式 ， 使小數和分數建立起直接的聯系 ， 使學生進一步體會到 ：十分之幾和一位小數， 百分之幾和兩位小數之間的關系 。再如把正方形平均分表示其中的若幹份，以及用數軸表示數，這是認識整數、分數時常用的模型， 可以将其拓展到小數 。例如：把一個正方形平均分成 10 份 100 份， 其中的若幹份既可以用分數表示 ， 也可以用小數表示 ，這樣能夠 幫助學生理解的小數意義，建立小數的模型，培養學生的數感 。

2. 溝通整數、小數、分數之間的關系

（ 1 ） 溝通整數和小數的關系。

整數與小數的計數方法是一緻的 ， 相鄰兩個計數單位間的進率都是 10 ， 小數的計數方法是整數計數方法的擴展 ， 教學中要設計相應的教學環節将整數的計數方法遷移到小數 ， 為學生在計數的經驗和方法上建立聯系， 不僅如此 ， 還要利用這些活動幫助學生整理認數系統 ， 把原來認識的整數數位表擴充到小數 。

（ 2 ）溝通分數和小數的關系：

小數和分數上的溝通，主要是意義上的溝通，使學生理解小數是十進分數。

（ 3 ）溝通分數、整數、小數之間的關系。

關于小數和整數、分數有着密切的聯系，在整數學習的基礎上，學習了小數，小數的表征形式與整數相似， 數位順序表得到補充， 都是十進制。如果以個位為基礎，向右擴展就是十位、百位、千位；如果向左擴展就是十分之一位（十分位），百分之一位（百分位）等。換句話說：以個位為對稱軸，兩邊的數位呈現了對稱的關系，隻是小數部分在位前增加了“分”；這樣“每相鄰的兩個計數單位之間的進率都是 10 ”得到了全面的概括；小數是十進分數。從這個意義上說，對小數的理解比對分數的理解更容易一些。整數可以數：一個一個地， 一十一十地數，一百一百地數，小數可以數： 0.1 、 0.2 、0.3 、 0.4 、 0.5 、 0.6 、 0.7 ……分數可以數：1/6、2/6、3/6……以此類推。這列數是按照一個單位進行數數的，無論是整數、小數、分數它們都是計數單位的累加。

3. 把握好小數認識的兩個階段的教學

我們知道關于小數的初步認識可以從學生熟悉的計量單位：元、角、分和米制系統（米、分米、厘米）來幫助學生學習。并不涉及到小數的計數單位和數位；到了第二學段學習小數的意義時，才抽象出小數的計數單位和數位，以及完善數位順序表…… 兩個學段的重點不同，呈現的方式和學習的方式也應當有區别。要根據學生的實際選擇合适的學習方法，幫助學生理解小數的意義。

三、 建立數概念教學的具體建議

（一）在數認識中體現數感。 數感的建立非常重要，教師要設計多種活動培養學生的數感。

（二） 整體把握内容之間的 兩個學段相關内容的整體把握和遞進與銜接。

（三）鼓勵學生進行數學交流，關注數的應用 。關于數的認識包括從數的意義、數的表示、數和數之間的關系、數的應用；其中數的應用不僅僅是一條主線，而且滲透在整個學習中。教學中要提供機會鼓勵學生運用數來表示日常生活中的一些事物，并進行交流。

注：本文轉自吳正憲老師團隊公衆号，如有侵權，請聯系删除！

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