昵稱為“靈羽無雙”的讀者朋友問到下面的問題.
左老師，你好.下面這道題答案雖然可以用特殊位置法很快的猜出答案，可我無論用向量法（易得到表達式但難求取值範圍）還是傳統幾何法都感覺不好解釋為何答案是三分之根号六到一.你有好方法能解釋下嗎？謝謝.
靈羽無雙，
你的意思大約是，不想用特殊值法，希望看到完整的推導過程.
如果沒有空間想象能力，建立空間直角坐标系是“無腦解法”.
如果具備一點空間想象能力，本題用幾何法解起來更快.
1
正方體的體對角線垂直于與它異面的面對角線
如上圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC1為體對角線，A1B、BD、A1D為面對角線.
容易證明：正方體的體對角線和與它異面的面對角線是垂直的.（有興趣的讀者朋友可推導具體證明過程，并不複雜）
顯然，本題中的體對角線AC1和三條面對角線A1B、BD、A1D都是異面的.
所以，直線AC1垂直于A1B，直線AC1垂直于BD，直線AC1垂直于A1D，故AC1垂直于平面A1BD.
2
将垂線平移到指定位置
通過（1），我們找到了平面A1BD的垂線.
但是，我們要求的是OP與該平面所成的角.
也就是說，該垂線并不在指定位置.我們需要對它進行平移.
平移的手段是——用中位線進行平移.
連接AC，則它與BD必相交于點O.
再取CC1的中點E，連接OE.
因為OE//AC1，所以OE也垂直于平面A1BD.
3
線面角轉化
因為OE垂直于平面A1BD，所以OP與平面A1BD所成的角和OP與OE的夾角互餘.
也就是說，所求的線面角α的正弦值等于∠POE的餘弦值.
下面畫出矩形ACC1A1.
故答案選B.
另外必須說一句，我的精力非常有限.
隻有極小極小的一部分問題，我會在頭條号公開回複.
因此你的問題極大可能得不到回複，給我提問的主要功能是你幫自己自我梳理，即你自己問自己問題，然後自己給出答案.
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